2.Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Определение:

Число «a» называется пределом функции «f» в  точке x₀, если для любого ε > 0 найдется δ = δ (ε )  > 0 такое, что |x − x₀| < δ, справедливо неравенство | f (x) − A| < ε

Односторонние пределы:

1)Предел слева

Число A называется пределом функции   слева в точке  , если для любого положительного числа   существует такое число  , что при , выполняется неравенство  .

Записывается так: 

2)Предел справа

Число A называется пределом функции   справа в точке  , если для любого положительного числа   существует такое число  , что при , выполняется неравенство  .

Записывается так: 

3.Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности.

*См.2 билет

Предел функции на бесконечности:

2)Предел при  :

Число A называется пределом функции   при  , если для любого положительного числа   существует такое число  , что для всех  , удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство  .

4.Предел функции и его свойства.

Дать опред. предела функции в точке и на бесконечности

4) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

5) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

6) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

7) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

5.Бесконечно малые функции, их свойства. Связь с бесконечно большими.

Определение

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если  , то  ,  .

Свойства бесконечно малых:

1)Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию является бесконечно малой.

2)Сумма конечного числа бесконечно малых функций - бесконечно малая.

3)Произведение конечного числа бесконечно малых функций - бесконечно малая.

Связь с бесконечно большими:

Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при  .

-Если  , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией β (x);

-Если  , то говорят, что функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми одинакового порядка малости;

-Если  , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой порядка nотносительно функции β (x);

-Если  , то говорят, что бесконечно малые функции α (x) и β (x) эквивалентны при  .

6.Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:

Если функция   - функция бесконечно малая ( ), то функция   есть бесконечно большая функция и наоборот.

Доказательство:

Пусть   - бесконечно малая функция при  , т.е.  . Тогда для любого числа   существует такое число  , что для всех  , удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство  , т.е.  , т.е.  , где  . А из этого следует, что функция  - бесконечно большая.