Тема 1.1. Основи комбінаторики.

Мета роботи: Поглибити знання з комбінаторики, навчитися вирішувати комбінаторні задачі у табличному редакторі «MS Excel», набути додаткового досвіду, щодо роботи в MS Excel.

Завдання :

1. В автомобілі 7 місць. Скількома способами сім чоловік зможуть в нього сісти, якщо зайняти місце водія можуть тільки троє з них?

2. Скільки слів можна утворити з літер слова «ФРАГМЕНТ», якщо слова повинні складатися: (а) з восьми літер, (б) із семи літер, (в) з трьох літер?

3. Скільки існує різних автомобільних номерів, які складаються з п'яти цифр:

4. а) якщо перша з них не дорівнює нулю; б) якщо номер складається з однієї букви латинського алфавіту, за якою слідують чотири цифри, відмінні від нуля?

5. Алфавіт деякої мови містить 30 літер. Скільки існує слів з шести літер (ланцюжок літер від пробілу до пробілу), складених з літер цього алфавіту, якщо:

6. а) літери в словах не повторюються б) букви в словах можуть повторюватися?

7. Скількома способами можна розставити на полиці сім книг, якщо: а) дві певні книги повинні завжди стояти поруч, б) ці дві книги не повинні стояти поруч?

8. Скількома способами з восьми чоловік можна обрати комісію, що складається з п'яти членів?

9. Скількома способами можна відібрати кілька фруктів з семи яблук, чотирьох лимонів і дев'яти апельсинів? (Ми вважаємо, що фрукти одного виду невиразні.)

10. Скільки п’ятибуквенних слів, кожне з яких складається з трьох приголосних та двох голосних, можна утворити з літер слова «РІВНЯННЯ»?

Результати виконання задач:

Рисунок 1. Результати обчислення вірогідності

Рисунок 2. Результати обчислень

Тема 1.2. Елементи комбінаторики. Класичне означення ймовірностей. Основні теореми ймовірностей.

Мета роботи: Розглянути табличний редактор MS Excel з боку розв’язання задач з теорії імовірності та комбінаторних задач різного типу.

Завдання (Варіант 2):

11. Скільки діагоналей має опуклий n-кутник?

Рисунок 3 Рішення задачі з комбінаторики

Тема 1.3. Створення електронного підручника «Комбінаторика». Мета роботи: навчитися працювати в середовищі для створення електронних підручників SunRav BookOffice. Поглибити існуючі знання з комбінаторики в ході роботи. Завдання: Створити електронний підручник «Комбінаторика», засобами програми SunRav BookOffice. Висвітлити в ньому наступні питання: Історія розвитку комбінаторики, комбінаторні обчислення для основних операцій, об’єднання, розміщення з повтореннями, розміщення, перестановки, біном Ньютона і властивості біномних коефіцієнтів, найпростіші властивості біномних коефіцієнтів, диференціювання та інтегрування.

Виконання завдання:

Рисунок 4 Готова книга

Рисунок 5 Книга в режимі конструктора

Тема 1.4 Розміщення з повторенням

Мета роботи: Поглиблення знань з розділу Розміщення з повторенням, дисципліни Комбінаторика. Набути додаткового досвіду, щодо застосування розміщення та повторення. Завдання: Лицарі Короля Артура За круглим столом короля Артура сидять 12 рицарів. З них кожен ворогує зі своїми сусідами. Треба вибрати 5 лицарів, щоб звільнити зачаровану принцесу. Скількома способами це можна зробити так, щоб серед обраних лицарів не було ворогів?

Вирішення задачі: Ця задача схожа на завдання про книжковій полиці, але відрізняється від неї тим, що лицарі сидять не в ряд, а по колу. Але її легко звести до випадку, коли лицарі сидять в ряд. Для цього візьмемо якогось лицаря, скажімо, сера Ланселота. Всі обирані комбінації лицарів розпадаються на два класи - в одних з них бере участь сер Ланселот, а в інших ні. Підрахуємо, скільки комбінацій входить в кожен клас. Якщо сер Ланселот відправляється звільняти за * чаклувати принцесу, то ні його сусід справа, ні його сусід зліва вже не візьмуть участі в цій експедиції. Залишаються 9 лицарів, з яких треба вибрати 4 спут «ніків для сера Ланселота. Так як сусіди Ланселота не беруть участь в експедиції, то треба лише простежити, щоб серед обраних 4 лицарів не було ворогів, тобто щоб ніякі дві з них не сиділи поруч. Але виключення сера Ланселота і його двох сусідів розриви ¬ кість ланцюг лицарів, і можна вважати, що вони сидять не за круглим столом, а в один ряд. А в цьому випадку вибрати 4 лицарів з 9 необхідним чином можна способами. Отже, в перший клас входить 15 комбінацій. Тепер порахуємо, скільки комбінацій входить у другий клас. Так як сер Ланселот не бере участь в експедіціі, то його можна відразу виключити з числа лицарів круглого столу. А тоді ланцюг лицарів та їхньої взаімоот 'ношень розривається, і залишаються 11 лицарів, розташованих в ряд. З них треба вибрати 5 учасників експедиції так, щоб серед обраних не було двох сидячих поруч. Це можна зробити способами. Таким чином, загальне число способів дорівнює 15 + 21 = 36. Взагалі, якщо за круглим столом сидять п лицарів, і треба вибрати до лицарів так, щоб в їх число не попали ніякі два сусіди, то це можна зробити способами. Це твердження доводиться точно так само, як і вище. Всі комбінації лицарів розбивають на два клас «са в залежності від того, бере участь чи ні в них ри * цар Ланселот. Комбінацій, де він бере участь, буде а комбінацій, в які він не входить, . Легко перевіряється, що

Наприклад, при n = 12, к =5

Отримуємо : .