39. Математические системы. Mathcad.

MathCAD — это программное обеспечение для персонального компьютера, которое позволяет создавать документацию и выполнять расчеты в технологической и научной областях.Программное обеспечение Mathcad в настоящее время поддерживает работу с алгебраическими системами. Однако Mathcad ориентирован, в первую очередь, на инженерную разработку

Среди возможностей Mathcad можно выделить:

Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами

Построение графиков

Выполнение операций с векторами и матрицами

Символьное решение систем уравнений Аппроксимация кривых

Интеграция с САПР (Система автоматизированного проектирования

40. Задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка. Формулы Эйлера и Рунга-Кутта.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) первого порядка называется уравнение вида: F(x, y, y' )=0,     

где F — известная функция трех переменных.

Общее решение дифференциального уравнения.

 Однако, если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию y(x₀)=y₀, то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение.  Задача об отыскании решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀, называется задачей Коши.

Решение задачи Коши называют- частным решением.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши. 

Если функция f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в области D, (x₀, y₀)ОD, то на некотором интервале (x₀-h, y₀+h) существует единственное решение y=y(x) уравненияy'=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀.

Теорема существования и единственности имеет простую геометрическую интерпретацию: если условия теоремы выполнены в области D, то через каждую точку (x₀, y₀)ОD проходит только одна интегральная кривая y=y(x,C₀) семейства y=y(x,C) такая, что y(x₀,C₀)=y₀.

Требуется решить ур-е :

Y '=f(x, Y), при Y(x₀)=y₀

1) сетка с шагом h

X₀ X₁ X₂………. X_n

2) сеточная функция

X x₀ x₁… x_n

Y y₀ y₁… y_n

3) аппроксимация сеточной функции

Y '(x _i)= f(x _i, Y(x _i)), i= от 0 до n

= f (x _i,y _i), i= от 0 до n

y _i+1 = y _i+ h* f(x _i, y _i), i= от 0 до n-1 –ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

Формула Э. имеет 1 порядок точности те сущ-ет такая с , что те невысок точность 

Для повышения точности ф.Эйлера модифицируют :

y _i+1=y_i+ h*( f (x _i,y _i)+ f (x _i+1,y _i+1))/2

этот модифиц-я формула имеет 2 порядок точности ²

дальнейшая модиф-я ф.Эйлера приводит к формуле Рунге-Кутта, к-я имеет 4 порядок точности!

y _i+1 = y _i+ h*(k1+2k2+2k3+k4)/6

k1=h*f (x _i, y _i)

k2=h*f (x _i+ h/2, y _i+k1/2)

k3= h*f (x + h/2_i, y _i+k2/2)

k4= h*f (x _i+h, y _i+k3)

Programs:

Def fnf (x,y)=…

input x, y, n

3 y=y+ h*fnf (x,y)

x=x+h

print x,y

if x<b go to 3

end

41. Краевые задачи.

При математическом моделировании с помощью диф. урав-й получается задача, которая должна иметь одно единичное решение : для этого к диф. ур-ю добавляется дополнительные условия , накладываемые на искомую функцию и ее производную.Эти условия получаются из существующих характеристик исследования объекта или процесса. Если доп-ые условия задаются в одной точке области определения искомой функции, то эти условия называются-начальным условиями , а задача называется -задачей Коши, если же дополнительные условия задаются более чем в одной точке , то эти условия называются - граничные условия , а задача решения диф. урав-й при этих условиях называется КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ