37. Формулы численного интегрирования. Формула Симпсона. Правило Рунге.
Численное интегрирование— вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых x = a и x = b, где a и b — пределы интегрирования.Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Симпсона формула, формула для приближённого вычисления определённых интегралов, имеющая вид:
,где
h = (b — а)/2n;
fi, = f (a + ih), i = 0, 1, 2,..., 2n. С.
ф. называют иногда формулой парабол, т.
к. вывод этой формулы основан на замене
подынтегральной функции f (x) на каждом
из отрезков [a + 2hk, а + 2h (k + 1)], k = 0, 1,..., n —
1, соответствующим интерполяционным
многочленом второй степени (см.
Интерполяционные формулы); геометрически
это означает, что кривая, описываемая
уравнением у = f (x), заменяется близкой
к ней кривой, состоящей из отрезков
парабол. Погрешность, возникающая в
результате применения С. ф., равна
,где а £ x £ b. Если подынтегральная функция
f (x) — многочлен степени m £ 3, то С. ф.
является не приближённой, а точной, так
как в этом случае f IV (x) º 0.
Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов.получило распространение практическое правило Рунге оценки погрешности. Идея состоит в том, чтобы организовав вычисления значений интеграла по нескольким семействам (множествам) узлов, затем сравнить результаты вычислений и получить оценку погрешности. Наиболее удобное правило связано с вычислением интеграла дважды: LN[f], L2N[f]. Правило Рунге оценки погрешности R2N[f]:R2N[f] ≈ (L2N[f] - LN[f] ) / ( 2p -1 )где p - порядок погрешности квадратурной формулы.
38. Численное дифференцирование. Конечно-разностная аппроксимация производных.
Чисдифференцирование
Произв-ную ф. у=f(х) вычисляют, используя таблицу производных и свойства произваодных.Этот способ не подходит для функций,заданных в виде таблицы.
Используют формулу числ.дифференцирования.Их можно получить используя определение производной:
У/=
Если здесь фиксированное некоторое малое ∆х,те остановить его стремление к 0,получим
У/=
Эта формула для конечно-разностной аппроксимации производных.В зависимости от способа вычисления конечных разностей получают разные формулы для приближенного вычисления производных.
Yi=f(xi)
Xi-Xi-1=h-const для всех i.
y′(xi)=?
формула
левых разностей
ф-ла
правых разностей
ф-ла
центр.разностей
Диф.ур-уравнение, связывающее неизвестную функцию и несколько ее производных.
Делятся на два класса :обыкновенные,и диффуры в частных производных.
Диффуры имеют много решений, если оно есть, то оно зависит от произвольных постоянных. при мат моделировании с помощью диффур, полученная задача должна иметь одно решение. Для этого к уравнению добавляют доп.условие, накладываемое на искомую функцию и ее производную. Эти условия получаются из существенных характеристик исследуемого объектами процесса. Если доп условия задаются в одной точке области определения искомой функции,то эти условия называются начальными, а задача решения диффур задача при начальных условиях, сейчас решают на компах, Наиболее распространенный метод-метод конечных разностей.
Алгоритм:
1)область непрерывного изменения аргументов искомой функции заменяют дискретным ростом точек-сеткой.
2)на сетке задают функцию дискретного аргумента-сеточную функцию
3)в диффуре и в доп условиях в каждой точке сетки искомую функцию и ее производную записывают в терминах сеточной функции.Для этого иск.функцию заменяют сеточной,а ее производные, используя формулы дифференцирования выражают через сеточную функцию.Врезультате получается система уравнений,где неизвестными являются значения сеточной функции.
4)Полученную систему уравнений решают одним из численных методов
В результате значения сеточной функции,которая является приближенным значением искомой функции в каждой точке сетки.