28. Метод Ньютона (метод касательных) для решения нелинейного уравнения.
Пусть дано уравнение f(x)=0 и начальное приближение x0 к его корню. Предполагаем, что функция f(x) — вещественная и находим вещественный корень x*. Будем предполагать, что на отрезке [a,b] (x0Î[a,b]) содержится единственный корень уравнения f(x)=0 и существуют непрерывные производные f'(x)¹0, f''(x)¹0.
Заменим уравнение в окрестности x0 приближенно уравнением f(x0)+f'(x0)(x-x0)=0, левая часть которого есть линейная часть разложения функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0. Отсюда аналогично — расчетная формула метода Ньютона.
Метод Ньютона имеет простой геометрический смысл: есть абсцисса точки пересечения касательной к графику функции , построенной в точке , с осью абсцисс.
Теорема о сходимости:
Если отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при, то , причем скорость сходимости определяется неравенством. Здесь m1=min|f'(x)|, xÎ[a,b], M2= max|f''(x)|, xÎ[a,b]. Если f(x0)f''(x0)<0, то можно не прийти к x=x*, если x0 не очень хорошее.
Заметим, что если f'(x*)=0, то квадратичной сходимости может и не быть. Например, пусть f(x)=x2. x*=0 — корень второй кратности, расчетная формула xk+1=xk/2 и сходимость линейная. Иногда целесообразно применять модифицированный метод Ньютона.— расчетная формула модифицированного метода Ньютона. Скорость сходимости модифицированного метода значительно меньше.
При решении задачи итерационными методами следует обращать внимание на следующие моменты:
Расчетная формула.
Условие сходимости.
Скорость сходимости.
Получение решения с заданной точностью e: В методе Ньютона если |xk+1-xk|<e, то |xk-x*|<e.
Def fnf(x)=x^3+x – 1
Def fnf(x)=3*x^2+1
Input x, eps
1 y=x- fnf(x)/ fnf(x) print y, fnf(y)
If abs(y-x)<eps then 2
x-y:0 to 1
2 print y, fnf(y)
End
29.Метод
простых итераций
(называемый иначе методом последовательных
приближений). Аналогично одномерному
случаю заменим нелинейную систему
эквивалентной специального вида
Метод
состоит в замене исходного уравнения
эквивалентным
уравнением
и в построении последовательности,
сходящейся к точному решению уравнения
Xk+1
=
.
Такую замену можно сделать разными
способами.
1
способ:
.
Сформулируем достаточное условие
сходимости метода: пусть функция
определена и дифференцируема на интервале
[a,b],
причем все его значения принадлежат
этому интервалу. Тогда существует такое
число q,
то выполняется условие:
на интервале [a,b],
то последовательность Xk+1
=
сходится к единственному на интервале
[a,b]
корню уравнения
при
любом начальном приближении Хо из
интервала[a,b].
C=y(c),
f(0)=0,
c
[a,b]
Для оценки точности можно использовать следующее неравенство:
Если
y’(x)>0,
то
Если
<0,
то
Метод простых итераций аналогичен методу Ньютона, точнее сказать метод Ньютона является частным случаем метода простых итераций. Программа аналогична.
Def fnf(x)=x^3+x – 1
Def fnf(x)=3*x^2+1
Input x, eps
1 y=x- fnf(x)/ fnf(x) print y, fnf(y)
If abs(y-x)<eps then 2
x-y:0 to 1
2 print y, fnf(y)
End