43. Определение произведения рациональных чисел и его корректность. Поле рациональных чисел

Определение: произведение рациональных чисел.

Теорема: определение произведения рациональных чисел корректно.

Доказательство:

докажем:

Перемножим равенства

⊠

Теорема: умножение рациональных чисел коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения.

Доказательство:

1. ?

Умножение целых чисел коммутативно

2. 

3. 

⊠

Утверждение: рациональное число является нейтральным элементом относительно умножения в множестве Q.

Утверждение: для любого рационального числа обратным является число

Следствие: поле

44. Отношение « » в поле рациональных чисел и его корректность. Плотность множества рациональных чисел. Свойство трихотомии. Отношение “ ” как отношение порядка в

Утверждение. Произвольное рациональное число является классом пары, где , .

Доказательство: ⊠

Поэтому дальше будем использовать пары только с положительным вторым элементом.

Определение: Пусть , . Будем говорить если .

Теорема (корректность определения): Определение корректно.

Доказательство: ,

докажем:

⊠

Теорема: могут находиться только в одном соотношении:

Доказательство:

Целые числа и могут находиться только в одном из трех соотношений: или или ⊠

Теорема: Отношение « » является отношением порядка на .

Доказательство:

• Рефлексивность

• Антисимметричность и

• Транзитивность: и

(1)

(2)

Докажем:

⊠

Свойство (плотность множества рациональных чисел):

Множество рациональных чисел плотно, т. е. между произвольными неравными рациональными числами  и  существует по крайней мере одно рациональное число.

Док-во:

Пусть находится между ними

⊠

45. Отношение порядка в поле рациональных чисел и его связь с арифметическими операциями

Свойство:

Тогда имеют место следующие неравенства:

1. Если , то

2. Если  , то

3. Если  , то

Доказательство:

1)

докажем:

3)

докажем:

⊠

46. Вложение кольца целых чисел в поле рациональных чисел. Изоморфизм колец

Определение: . Элементы этого множества будем называть целыми рациональными числами.

Свойство: .

Доказательство: ( )

( ) ⊠

Свойство: гомоморфизм колец.

Доказательство:

нужно доказать: - кольцо, , ⊠

Свойство: Гомоморфизм – биекция.

Следствие: изоморфные кольца.

Свойство: Гомоморфизм сохраняет порядок:

Доказательство: , , , т.к. ⊠

Следствие: На основе изоморфизма , который сохраняет операции сложения, умножения и отношение порядка, можно отождествить каждое целое число с целым рациональным числом , таким образом, кольцо целых чисел является подкольцом поля рациональных чисел.