12. Коммутативность умножения натуральных чисел. Закон дистрибутивности на множестве натуральных чисел (левый).

Теорема (закон коммутативности)

Доказательство:

1)

ММИ( )

, - истина

Пусть

Докажем

2)

ММИ( )

,

Пусть

Докажем ?

⊠

Теорема (левый закон дистрибутивности)

Доказательство:

⊠

13. Ассоциативность умножения натуральных чисел.

Теорема (закон ассоциативности умножения)

Доказательство:

ММИ (с) :

Пусть

Докажем: ?

⊠

14. Отношение «>» как отношение строгого порядка на множестве N. Свойство трихотомии: существование.

Определение 1: Пусть . Будем говорить, что , если , что

Свойство:

Доказательство: .

Теорема (Свойство трихотомии):

имеет место только одно из соотношений:

Доказательство (существование): , ММИ( ).

Пусть для и выполняется одно из соотношений .

Докажем для и :

:

: ⊠

Определение: Отношение на множестве называется отношением строгого порядка, если оно:

1) антирефлексивно: : истина.

2) ассиметрично: :

3) транзитивно: :

Теорема: Отношение является отношением строгого порядка на множестве .

15. Отношение «>» как отношение строгого порядка на множестве N. Свойство трихотомии: единственность.

Определение 1: Пусть . Будем говорить, что , если , что

Свойство:

Доказательство: .

Теорема (Свойство трихотомии):

имеет место только одно из соотношений:

Доказательство (единственность): докажем, что никакие два соотношения одновременно не выполняются:

:

:

: , ⊠

Определение: Отношение на множестве называется отношением строгого порядка, если оно:

1) антирефлексивно: : истина.

2) ассиметрично: :

3) транзитивно: :

Теорема: Отношение является отношением строгого порядка на множестве .

16. Отношение « » как отношение порядка на множестве N.

Определение: , если

Определение: Отношение на мн-ве называется отношением порядка, если оно:

1) рефлексивно: : истина.

2) антисимметрично: :

3) транзитивно: :

Теорема: Отношение « » является отношением порядка на множестве .

Доказательство: 1), 2) – очевидно.

3) ?

,

,

⊠

17. Отношение « » как отношение линейного порядка на множестве N

Определение : Отношение порядка на множестве называется линейным, если выполняется: .

Теорема: Отношение « » является отношением линейного порядка на множестве , т.е.

Доказательство: , ММИ( )

:

Пусть для выполняется

Докажем

, ,

⊠

18. Закон монотонности сложения на множестве N и следствия из него

Теорема (закон монотонности сложения):

1)

2)

Доказательство: 1) ( )

Если

Если

( ) . От противного: пусть

,

?!

2) Аналогично ⊠

Следствие:

1)

2)

19. Закон монотонности умножения на множестве N и следствия из него

Теорема (закон монотонности умножения):

1)

2)

Следствие:

1)

2)

20. Дискретность и архимедовость множества натуральных чисел

Свойство (архимедовость множества )

Доказательство:

⊠

Свойство (дискретность множества )

(Числа и – соседние. В дискретном множестве все точки изолированы, существует понятие «соседи»)

Доказательство: , ?! ⊠

21. Разность натуральных чисел: определение и единственность. Условие существования разности натуральных чисел

Определение: Натуральное число (если оно существует) наз. разностью чисел и , если .

Теорема

1)

2) если разность существует, то она определена единственным образом.

Доказательство:

1)

( ) пусть ,

2) пусть

⊠

22. Свойства разности натуральных чисел

Теорема

1) и и

2)

Доказательство:

1)

2) пусть ?! ⊠

Следствие Свойства справедливы для строгих и нестрогих неравенств.

Свойство

1) и и

2)

23. Частное натуральных чисел: определение и единственность. Свойства частного натуральных чисел

Определение: Частным чисел и называется такое число (если оно существует), что , обозначается .

Теорема: Если частное и существует, то оно единственное

Доказательство:

Пусть ⊠

Свойство

Доказательство ⊠

Теорема

Доказательство:

1)

• (дано) ?!

• (дано) ?!

⊠

24. Св-ва сложения и вычитания для натуральных чисел:

Теорема (свойства сложения и вычитания)

Если существуют соответствующие разности чисел , то выполняются следующие равенства:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Доказательство:

1)

Проверим, подойдет ли вместо правая часть равенства.

?

⊠

25. Св-ва сложения и вычитания для натуральных чисел:

Теорема (свойства сложения и вычитания)

Если существуют соответствующие разности чисел , то выполняются следующие равенства:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Доказательство:

5) ,

Проверим, подойдет ли вместо правая часть равенства.

?

⊠