Свойства линейных операций над матрицами

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Непосредственно из определений вытекают следующие свойства линейных операций.

Для любых матриц   одинаковых размеров и любых чисел   справедливы равенства:

1.   (коммутативность сложения);

2.   (ассоциативность сложения);

3. существует нулевая матрица   (тех же размеров, что и  ):  ;

4. существует матрица  , противоположная матрице  ;

5.  ;

6.  ;

7.  ;

11. Дайте понятие определителя матрицы. Сформулируйте правила вычисления определителей второго и третьего порядка.

Определитель матрицы- важнейшей числовой характеристикой квадратной матрицей является её определитель детерменант

Определитель матрицы обозначается: det(A), |А| или Δ(A).

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

а11 а12

А= а21 а22

В этом случае определитель матрицы вычисляется по формуле:

|A|= а11 а12 = а11*а22-а12*а21

а21 а22

Расмотрим квадратную матрицу 3-го порядка

а11 а12 а13

А= а21 а22 а23

а31 а32 а33

в этом случае определитель матрицы можно найти двумя случаями

1. Правило Саррюса

. . .

. . .

. . .

+

. . .

. . .

. . .

-

а 11 а12 а13

а21 а22 а23 = а11*а22*а33+а21*а13*а32+а31*а12*а23-а31*а22*а13-

а31 а32 а33 а11*а23*32-а21*а12*а33

2. С помощью разложения определителя, разложения строки

а11 а12 а13 а22 а23 а21 а23 а21 а22

|А|= а21 а22 а23 = а11 * а32 а33 - а12* а31 а33 + а13 а31 а32

а31 а32 а33

заметим что с возрастаниям порядка матрицы возрастают трудности с вычислением её определителя.

12. Назовите основные свойства определителей квадратных матриц. Дайте определения алгебраического дополнения и минора элемента матрицы. Опишите метод вычисления определителей порядков выше третьего.

Свойства:

1)Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

2)Определитель матрицы не меняется при: если к какому-нибудь столбцу (строке) определителя прибавить другой другой столбец (строку) умноженный на любое число.

3) при перестоновке двух строк(столбцов) определитель меняет знак. Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

а11 а12 ..а1n а11 а22…а1n

α а21 а22 ..а2n = α * а21 а22 …а2n

аn1 аn2 ..аnn аn1 аn2…аnn

4.) определитель произведения 2-ух матриц равен произведению их определителя.

|A*B|= |A|* |B|

Определение: минор (M i j ) элемента а i j определителя матрицы А

а11 а12 …а1n

А= а21 а22 …а2n

а31 а32 …а3n

определение матрицы А является из-за вычёркивания i-й строки и j-й строки.

Определение: алгебраическим дополнением А i j элемента а i j в матрице А, называется его минор умноженный на (-1)

Вычисление определителей матриц порядка выше 3-го выполняется на основании свойств определителей:

1. Определитель матрицы равен 0 если: а) все элементы некоторой строки (столбца) равны 0. Б) две строки (столбца) одинаковы. В) две строки (столбца) пропорциональны.

2. Определитель матрицы не меняется:

А) при транспонировании матрицы: |A|= |A^Т |

Б) если к какому нибудь столбцу (строке) определителя прибавить другой столбец (строку умноженную на любое число).

13. Дайте определение обратной матрицы. Сформулируйте теорему о существовании обратной матрицы. Назовите свойства обратных матриц. Опишите метод построения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Приведите пример.

Определение: обратная матрица- такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу  E:

А*А^{-1=E (единичная матрица того же порядка).}

^{Свойства:}

• , где DET обозначает определитель.

•  для любых двух обратимых матриц А и В.

•  где   обозначает транспонированную матрицу.

•  для любого коэффициента   .

метод построения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений (пример).

Пр.

А=

1. Найдём определитель матрицы А

А= -2+2-3*1+1*0=-7 ≠0 =>МА не выражденная => А имеет обратную матрицу.

2. Обратную матрицу А^-1

а11 а21 а31

А^{-1= 1/-7* а12 а22 а32 найдём алгебраическое выражение}

^{а13 а23 а33}

^{А11= (-2)2} * = 2

А12= (-1)^{1+2 3 2 = -1}

^{1 1}

^{3 6}

^{А13 = 1 2 = 0}

^{3 1}

^{А21=- 2 1 =-1}

^{2 1}

^{А22= - 1 1} =-3

-2 3

А23=- 1 2 =7

3 1

А31= 6 2 =0

2 1

А 32= - 3 2 =7

-2 3

А33= 3 6 =-21

1/7* =

Определение. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если

.

Из определения следует, что если матрица А имеет обратную, то обе они должны быть квадратными матрицами одного порядка.

Из определения следует, что если матрица В является обратной по отношению к матрице А, то и матрица А является обратной по отношению к матрице А.

Определение. Матрица имеющая обратную матрицу называется обратимой.

Теорема. Если квадратная матрица А имеет обратную, то она единственная.

Доказательство. Пусть В и С – две матрицы обратные к матрице А. Тогда   и  . Имеем,

 , ч.т.д.

Теорема доказана.