Модуль и аргумент
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).
Модуль
комплексного числа 
обозначается 
и
определяется выражением 
.
Часто обозначается буквами 
или 
.
Если
является вещественным
числом,
то
совпадает
с абсолютной
величиной этого
вещественного числа.
Для
любых 
имеют
место следующие свойства модуля. :
1) 
,
причём 
тогда
и только тогда, когда 
;;
2) 
(неравенство
треугольника);
3) 
;
4) 
.
Из
третьего свойства следует 
,
где 
.
Данное свойство модуля вместе с первыми
двумя свойствами вводят на множестве
комплексных чисел структуру
двумерного нормированного
пространства над
полем 
.
5)
Для пары комплексных чисел 
и 
модуль
их разности 
равен
расстоянию между соответствующими
точками комплексной плоскости.
Угол 
(в
радианах) радиус-вектора точки,
соответствующей числу
,
называется аргументом числа
и
обозначается 
.
Из этого определения следует, что
; 
; 
.Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до
,
где 
—
любое целое число.Главным значением аргумента называется такое значение , что
.
Часто главное значение обозначается 
[4].
Главное значение аргумента обратного
числа отличается знаком от аргумента
исходного: 
.
Сопряжённые числа
Геометрическое представление сопряжённых чисел
Если
комплексное число 
,
то число 
называется сопряжённым (или
комплексно сопряжённым) к
(обозначается
также 
).
На комплексной плоскости сопряжённые
числа получаются зеркальным отражением
друг друга относительно вещественной
оси. Модуль сопряжённого числа такой
же, как у исходного, а их аргументы
отличаются знаком.
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.
(сопряжённое
к сопряжённому есть исходное).
Обобщение: 
,
где 
—
произвольный многочлен с вещественными
коэффициентами.
Значимость
сопряжения объясняется тем, что оно
является образующей группы
Галуа 
.
Представление комплексных чисел Алгебраическая форма
Запись
комплексного числа
в
виде
, 
,
называется алгебраической
формой комплексного
числа.
Сумма
и произведение комплексных чисел могут
быть вычислены непосредственным
суммированием и перемножением таких
выражений, как обычно раскрывая скобки
и приводя подобные, чтобы представить
результат тоже в стандартной форме (при
этом надо учесть, что 
):
Тригонометрическая и показательная формы
Если
вещественную
и
мнимую
части
комплексного числа выразить через
модуль 
и
аргумент
(
, 
),
то всякое комплексное число
,
кроме нуля, можно записать в тригонометрической
форме
Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:
где 
—
расширение экспоненты для
случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
