Дайте описание метода построения множества комплексных чисел.
Ко́мпле́ксные[1] чи́сла (устар. Мнимые
числа[2]), —
расширение поля вещественных
чисел,
обычно обозначается 
.
Любое комплексное число может быть
представлено как формальная сумма
,
где
и
—
вещественные числа,
— мнимая
единица[3].
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии,квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Поле
комплексных чисел можно понимать
как расширение
поля вещественных
чисел, в котором многочлен 
имеет
корень. Следующие две
элементарные модели показывают,
что непротиворечивое построение такой
системы чисел возможно. Оба приведенных
определения приводят к изоморфным расширениям
поля вещественных чисел 
,
как и любые другие конструкции поля
разложения многочлена
.
Действия над комплексными числами
Сравнение
означает,
что 
и 
(два
комплексных числа равны между собой
тогда и только тогда, когда равны их
действительные и мнимые части).
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Геометрическая модель
Геометрическое представление комплексного числа
Рассмотрим
плоскость с прямоугольной
системой координат.
Каждому комплексному числу 
сопоставим
точку плоскости с координатами 
(а
также радиус-вектор,
соединяющий начало координат с этой
точкой). Такая плоскость называется комплексной.
Вещественные числа на ней занимают
горизонтальную ось, мнимая единица
изображается единицей на вертикальной
оси; по этой причине горизонтальная и
вертикальная оси называются
соответственно вещественной и мнимой осями.
Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.
В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».
Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.