Дайте определения функций, заданных параметрически и неявно, опишите метод нахождения производных таких функций.
Понятие функции многих переменных
Во многих областях науки, техники и экономики встречаются величины, значения которых зависят от двух, трех и более незави-симых переменных. Например, уровень рентабельности зави-сит от прибыли на реализованную продукцию, величин ос-новных и оборотных фондов, что может быть выражено в виде функции трех переменных: . ()R )(П ()a ()b )(baПR+=
Определение 1.1. Если каждой точке некото-рой области из пространства соответствует вполне опреде-ленное число , то говорят, что задана функция переменных Множество называется областью определения функции и обозначается . Обычно под областью определения аналитически заданной функции подразумевается ее естественная область определения. Множество называется областью значе-ний функции . 12(,,...,)nMxxx D nR zR∈n 12(,...)(()).nzfxxxzfM== D ()Df{})(),( )(fDMMfzRzfE∈=∈= f
Если , то функция переходит в функцию двух независимых переменных , где . 2n=()zfM= (,)zfxy=2(,)xyDR∈⊂
Раскройте сущность понятия дифференциала, перечислите его свойства. Докажите свойство инвариантности формы дифференциала. Дайте понятие дифференциалов высших порядков.
Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.
Обычно
дифференциал функции
обозначается 
Дифференциал обладает следующими основными свойствами.
1. d(с)=0.
2. d(u+w-v)= du+dw-dv.
3. d(uv)=du·v+u·dv.
d(сu)=сd(u).
4. 
.
5. y=f(z), 
, 
,
.
Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.
Инвариантность формы дифференциала
Формула дифференциала функции имеет вид
,
где 
-
дифференциал независимой
переменной.
Пусть
теперь дана сложная (дифференцируемая)
функция 
,
где 
, 
. Тогда
по формуле производной сложной
функции находим
,
так
как 
.
Итак, 
,
т.е. формула дифференциала имеет один
и тот же вид для независимой переменной 
и
для промежуточного аргумента 
,
представляющего собой дифференцируемую
функцию от
.
Это свойство принято называть свойством инвариантности формулы или формы дифференциала. Заметим, что производная этим свойством не обладает.
Дифференциалы высших порядков.
Если х - независимая переменная и y = f(x) - дифференцируемая функция, то dx = f'(x)dx, т. е. дифференциал функции есть функция, зависящая от двух аргументов х и dx. Этот дифференциал будем называть также дифференциалом первого порядка (или первым дифференциалом).
Считая dx постоянной, получаем, что df(x) - функция одной переменной. Предположим, что функция у = f(x) имеет не только первую производную, но и n последовательных производных y" = f"(x), y’” = f”’(x).
Дифференциал от дифференциала функции у = f{x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y = d(dy), причем
Дифференциалом n-го порядка
