Свойства

• Областью определения   является множество  , а областью значений множество  .

• По построению имеем:

или

,

,

или короче

,

,

где   означает композицию функций, а   — тождественные отображения на   и   соответственно.

• Функция   является обратной к  :

.

• Пусть   — биекция. Пусть   её обратная функция. Тогда графики функций   и   симметричны относительно прямой  .

Пусть   -- функция, непрерывная на отрезке  . Предположим, что   монотонна на  ; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из   следует, что  . Тогда образом отрезка   будет отрезок  , где   и   (действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное между   и   значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная к   функция   функция, действующая из   в  . Очевидно, что   монотонно возрастает. (Если бы функция   была монотонно убывающей, то и обратная к ней функция   тоже была бы монотонно убывающей.)

        Теорема 3.11   Пусть   -- непрерывная монотонная функция,  ,  . Тогда обратная к   функция   непрерывна на отрезке  .

        Доказательство.     Во-первых, заметим, что если  ,  , то  .

Во-вторых, пусть  ; рассмотрим функцию  , которая определена при  . Очевидно, что   -- непрерывная на   функция, поэтому она принимает наименьшее значение   в некоторой точке  :

Таким образом, если  , то  , то есть если  , то  . Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числа   найдётся число  , такое что при   выполняется неравенство  . (При этом  ,  ,  ,  .) Получили, что функция   удовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке  ; тем самым доказано утверждение теоремы.      

51. Сформулируйте основные определения, связанные с понятием производной. Сформулируйте и докажите теорему о связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке.

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). Записывается так.

LimΔx→0 (Δf(x0)/Δx)=limΔx→0 ((f(x+Δx)-f(x0))/Δx)=f`(x0)

Нахождение производной называется дифференцированием. Вводится определение дифференцируемой функции: Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.

Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, данная функция является непрерывной и, что ее производная будет следующей:

Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:

данный предел равен 1, если и равен (-1), если , получаем, что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема

52. Сформулируйте теоремы о нахождении производной суммы, произведения и частного двух функций, о производной сложной и обратной функции. Докажите одну из этих теорем.

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции u=u(х) и ν=ν(х) - две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции.

Теорема 20.2 . Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)'=u'±ν'.

Обозначим у=u±ν. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем: