Раскройте сущность понятия функции, непрерывной на интервале и на отрезке. Сформулируйте теорему Больцано-Коши, теорему Вейерштрасса. Докажите одну из этих теорем.
Функция f(х) называется непрерывной в Х0, если предел ф-ии в точке Х0 существует и имеет конечный предел функции при х→Х0, равный значению функкции в точке Х0, т.е. limx→x0f(х)=f(Х0)
Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках.
Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.
Замечание. Функция, непрерывная на отрезке [a,b] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)
Множество функций, непрерывных на отрезке [a, b] обозначается символом C[a, b].
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема Каши:если функция f(х) непрерывна на отрезках [a,b] и наконцах этого отрезка принимает значения разных знаком то на этом отрезке найдется хотябы 1 точка в которой функция обращается в 0.
Т2каши: если функция y=f(x) непрерывна на на отрезках [a,b] и наконцах этого отрезка принимает различные ,тоесть значения f(a)неравно f(b) то какоебы мы число С невзяли изпромежутка f(a), f(b),сутществует токое f(c)=C.
Докозвтельство
Расмотрим вспомогательную функция фи(х)=f(x)-c ,которая также непрерывна на отрезке [a,b]
фи(a)=f(a)-c <0
фи(b)=f(b)-c >0
заметим что функция фи (х) удовлетворяет условиям теоремы 1каши значит существует хотябы 1 точка ‘C’
принадлежащия отрезку [a,b] такое что : f(с)=0 и f(c)-c=0 значит f(c)=c
теорема (Вейерштрасса) если функция f(x) невпрерывна на отрезке [a,b] то она ограничина на этом отрезке, тоесть существуют числа m и M такие что для любых из отрезка [a,b] m<=f(x)<=M.
T2(Вейерштрасса) функция f(x) невпрерывна на отрезке [a,b] достигает на этомотрезке своего наименьщего значения m и наибольшего значения M то существуют точки х1,х2 принадлежащему отрезку [a,b] такие что f(x1)=m ,f(x2)=M
Дайте определение обратной функции. Сформулируйте теорему о непрерывности обратной функции. Приведите примеры взаимно обратных функций. Определение
Функция 
является
обратной к функции 
,
если выполнены следующие тождества:
для
всех 
для
всех 
Существование
Чтобы
найти обратную функцию, нужно
решить уравнение 
относительно
.
Если оно имеет более чем один корень,
то функции обратной к 
не
существует. Таким образом, функция 
обратима
на интервале 
тогда
и только тогда, когда на этом интервале
она инъективна.
Для непрерывной
функции 
выразить
из
уравнения 
возможно
в том и только том случае, когда
функция
монотонна
(см. теорема
о неявной функции).
Тем не менее, непрерывную функцию всегда
можно обратить на промежутках её
монотонности. Например, 
является
обратной функцией к 
на 
,
хотя на промежутке 
обратная
функция другая: 
.
Примеры
Если
,
где 
то 
Если
,
где 
фиксированные
постоянные и 
,
то 
Если
,
то 