45. Назовите формулы замечательных пределов. Дайте понятие неопределенности. Приведите примеры раскрытия неопределенностей.

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известныхматематических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

Неопределенность:

Если при подстановке предельного значения х получаем  

  

то такое выражение называется неопределенностью вида ноль на ноль. Неопределенность 0 на 0 надо убрать.

Чтобы избавиться от непреденности вида ноль на ноль, заданной отношением двух многочленов, надо и в числителе, и в знаменателе выделить критический множитель и сократить на него. Чтобы выделить критический множитель — то есть множитель, равный нулю при предельном значении х — нужно многочлены разложить на множители.

Способы разложения многочлена на множители:

- вынесение общего множителя за скобки;

- по формулам сокращенного умножения;

- группировка;

- по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители:

  

где

  

и

  

 корни уравнения

  

.

Можно просто разделить многочлены в числителе и знаменателе уголком на  

  

. Если кратность корня больше единицы, это придется сделать не раз.

Примеры раскрытия неопределенностей:

Пример 1

Вычислить предел  . Решение. Подставив напрямую значение x = 1, убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность   в точкеx = 1. Разложив числитель на множители, получаем

Пример 2

Вычислить предел  . Решение. Функция имеет неопределенность типа   в точке y = −2. Разложим числитель и знаменатель на множители.        (Мы использовали здесь формулу разложения квадратного трехчлена на множители: ax2 + bx + c = a (x − x1)(x − x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения.)  Аналогично,        Таким образом, предел равен

Пример 3

Вычислить предел  . Решение. Подстановка   показывает, что функция имеет неопределенность типа  . Разделим числитель и знаменатель на x3  (x в наивысшей степени знаменателя). В результате получаем

Пример 4

Вычислить предел  . Решение. Перепишем знаменатель в виде        и разложим его как разность кубов:        В результате можно найти предел:

Пример 5

Вычислить предел  . Решение. Сделаем замену переменной:  . Тогда   . Получаем        Преобразуем полученное выражение, используя формулу приведения   . В результате находим значение предела