Свойства бесконечно малых

• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

• Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

43. Сформулируйте и докажите критерий существования конечного предела.

Перейдем теперь к рассмотрению общего слу­чая— функции заданной в области для которой а служит точкой сгущения. Для существования конечного предела этой функции при стремлении к может быть установлен такой же признак, как и в случае функции от натурального аргумента. Форму­лировку его мы дадим параллельно для случая конечного а и для случая

Теорема. Для того чтобы функция при стремлении к имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовало такое число чтобы неравенство

выполнялось, лишь только

Доказательство проведем в предположении, что — конеч­ное число.

Необходимость. Пусть существует конечный предел

Тогда по заданному найдется такое что

если только Пусть и так что и

Отсюда получаем

в предположении, что одновременно

Достаточность может быть установлена, например, путем сведения вопроса к уже рассмотренному случаю. Путь для этого нам открывает само определение понятия предела функции «на языке последовательностей» [п° 32].

Итак, пусть условие, сформулированное в теореме, выполнено, и по произвольно взятому установлено соответствующее

Если есть любая последовательность значений из сходящаяся к , то, по определению предела последовательности, найдется такой номер что для будет: Возьмем, наряду с п, и другой номер так что одновременно

Тогда, в силу самого выбора числа

Это неравенство выполняется при единственном требовании, чтобы оба номера и были больше Это означает, что для функ­ции от натурального аргумента выполняется усло­вие п°52 и, таким образом, последовательность

имеет конечный предел, скажем

Пусть же будет другая Последовательность, извлеченная из и также сходящаяся к Соответствующая ей последователь­ность значений функции по доказанному, имеет некоторый конечный предел Для доказательства того, что допустим Составим тогда новую последовательность

значений , явно сходящуюся к . Ей отвечает последовательность значений функции

вовсе не имеющая предела, так как частичные последовательности ее членов, стоящих на нечетных или четных местах, стремятся к раз­личным пределам А это противоречит доказанному. Итак, при функция действительно стремится к конечному пределу .

44. Сформулируйте теоремы о единственности предела функции, о пределе суммы, произведения и частного двух функций, следствия из них. Приведите доказательство одной из этих теорем.

Теорема (единственность предела) Если функция f в точке а имеет предел, то этот пределединственный.

Доказательство: метод от противного limx→af(x)=b,limx→af(x)=c,b/=c . Возьмем ε=∣b−c∣ , по определению и свойству окрестности найдется выколотая окрестность т. а Uo(a,δ), в которой одновременно будут выполняться неравенства ∣f(x)−b∣<2∣b−c∣∣f(x)−c∣<2∣b−c∣ , тогда в точках этой же

окрестности ∣b−c∣=∣(b−f(x))+(f(x)+c)∣≤∣f(x)−b∣+∣f(x)−c∣<2∣b−c∣+2∣b−c∣=∣b−c∣ противоречие (от неправильно допущения)

Теорема. Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)g(x),причём

  .

Теорема. Если в точке а существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует и предел произведения f(x)×g(х), причем 

.

 Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 Действительно,

 

 Следствие 2. 

 Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и g (x) и при этом

  , то существует и предел частного  , причем  .