39. Раскройте сущность понятия предела последовательности (на примере), дайте определение предела последовательности, объясните его геометрический смысл.

Ответ:

Определение:

Число (а) называется пределом последовательности (xn) если для любого числа Ɛ>0

существует такой номер (n0) что для всех номеров > n0 выполняется неравенство (хn-а)< Ɛ

lim xn =a<=>

n ∞

Геометрический смысл:

Какова бы ни была (Ɛ) окрестность существует такой номер (n)0 что все элементы последовательности с номером (n)>n0 попадают в (Ɛ) окрестность точки а . т.е. (Ɛ) окрестность точки (а) содержат бесконечно много элементов окрестности, а вне этой окрестности находится лишь конечное число элементовю

40. Перечислите основные элементарные функции, изобразите их графики. Дайте определение сложной функции.

Степенная

Показательная

Логарифмическую

тригонометрические

обратная

Сложная функция

Пусть функция у=f(u) определена на множестве D1, a функция u=ϕ(x) определена на множестве D, причем для каждого XϵD соответствующее значение u= ϕ (x) ϵD. Тогда на множестве D задана функция y=f(ϕ(x) которая называется сложной функцией

41. Дайте определение предела функции и его геометрическую интерпретацию. Приведите пример вычисления предела функции по определению.

Ответ:

Предел функции

Число а называется пределом у=f(x) x a еслидля любого числа Ɛ >0 существует число Б>0 такое что для любых( x) из области определения f(x) удовлетворяет условию 0>/х-a /<Б выполняется неравенство /f(x)-A/<Ɛ

Геометрическая интерпретация определения предела функции

Число( А) является пределом функции f(x) при (x ) если какова нибыла (Ɛ) окрестность точки (А) существует дельта окрестносто точки (А) такая что для любых взятых из (Б) окрестности соответствует значения функции попадают в (Ɛ) окрестность точки (А)

Число (А ) является приделом функции (у=f(x) при (x ), если какова бы нибыла последовательность аргумента (х1,х2,…хn) a соответствующая последовательность функции стремится к (А)

Пример:

42. Дайте определение бесконечно малой и бесконечно большой функций, перечислите их основные свойства, приведите примеры.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Бесконечно малая величина

Последовательность   называется бесконечно малой, если  . Например, последовательность чисел   — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если  , то  ,  .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция  , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при  .

Последовательность   называется бесконечно большой, если  .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .