34. Опишите способы взаимного расположения двух плоскостей. Назовите формулы для вычисления угла между плоскостями, расстояния от точки до плоскости.

связкой плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную точку (центр связки).

Пересекающиеся плоскости

Необходимым и достаточным условием пересечения двух плоскостей является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных

Параллельные плоскости

Получим условия параллельности или совпадения двух плоскостей   и   заданных общими уравнениями:

Необходимым и достаточным условием параллельности или совпадения плоскостей (4.23) является условие коллинеарности их нормалей    Следовательно, если плоскости (4.23) параллельны или совпадают, то   т.е. существует такое число   что

 и наоборот.

Плоскости совпадают, если помимо этих условий справедливо   Тогда первое уравнение в (4.23) имеет вид   т.е. равносильно второму, поскольку 

Таким образом, плоскости (4.23) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число   что       но   Плоскости (4.23) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:       и 

Угол между плоскостями

Угол между двумя плоскостями можно определить как угол между их нормальными векторами. И находится по формуле

35. Дайте описание вывода уравнений прямой в пространстве (векторно-параметрическое уравнение прямой; параметрические уравнения прямой; каноническое уравнение прямой).

36. Дайте описание вывода уравнений прямой в пространстве (уравнение прямой, проходящей через две данные точки; прямая как пересечение двух плоскостей).

См. вопрос 35.

37. Опишите способы взаимного расположения двух прямых в пространстве. Назовите формулу для вычисления угла между прямыми в пространстве.

Перейдем к вариантам взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).

Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку. В этом случае эти две прямые лежат в некоторой плоскости трехмерного пространства. Если две прямые в пространстве пересекаются, то мы приходим к понятию угла между пересекающимися прямыми.

В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Рекомендуем к изучению статью параллельные прямые, параллельность прямых.

После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать онаправляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.

Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми.

Особое практическое значение имеет случай, когда угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен девяноста градусам. Такие прямые называют перпендикулярными (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых).

За угол между двумя прямыми в пространстве принимают один из двух смежных углов, который образует прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку в пространстве.

Один из этих углов равен углу между направляющими векторами этих прямых.

 

Где первая прямая задается: 

 

а₁=( m₁, n₁, p₁)

Вторая прямая задается:

 

а₂=( m₂, n₂, p₂)

Если прямые параллельны, то

 

Если прямые перпендикулярны, то m₁ m₂+ n₁ n₂ + p₁ p₂=0. 

38. Дайте определение числовой последовательности, ограниченной, монотонной последовательности, верхних и нижних граней последовательности. Приведите примеры числовых последовательностей. Сформулируйте теорему о пределе ограниченной последовательности.