28. Дайте определение гиперболы, ее фокусов, эксцентриситета, директрис. Запишите уравнения гиперболы, опишите ее геометрические свойства.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости для каждого из которых модуль разности расстояний до двух данных точек (фокусов гипербол) есть величина постоянная.

Эксцентриситета гиперболы определяется по формуле .

Уравнение гиперболы .

Теорема. (Свойства гиперболы.)

1. В канонической для гиперболы системе координат, в полосе

                                        

нет точек гиперболы.

2. Точки   лежат на гиперболе.

3. Гипербола является кривой, симметричной относительно своих главных осей.

4. Центр гиперболы является его центром симметрии.

29. Дайте определение параболы, ее фокуса, эксцентриситета, директрисы. Запишите уравнения параболы, опишите ее геометрические свойства.

Параболой называется множество всех точек плоскости которые находятся на одинаковом расстоянии, точки фокуса параболы и данной прямой.

Уравнение параболы   .

  Эксцентриситет: 

Свойство касательной к параболе:   (М - точка касания; N - точка пересечения касательной с осью Ox).

30. Дайте описание основных преобразований систем координат на плоскости (параллельный перенос координатных осей, поворот координатных осей).

Преобразованием системы координат называется переход от одной системы координат к другой.

При такой замене надо установить формулы, позволяющие по известным координатам точки в одной системе координат определить ее координаты в другой.

Главной целью преобразования координат является определение такой координатной системы, в которой уравнение данной линии становится наиболее простым. Удачным расположением координатных осей можно добиться того, чтобы уравнение кривой приняло наиболее простой вид. Это имеет важное значение для исследования свойств кривой.

Преобразование уравнения кривой второго порядка к простейшему виду достигается в общем случае 1) параллельным переносом координатной системы без изменения направления осей и 2) поворотом осей.

Если имеются две системы прямоугольных координат с разными началами, оси которых параллельны и одинаково направлены, то между координатами одной и той же точки в этих системах существует зависимость

где x, y - координаты точки в первоначальной системе координат, x₁, y₁ - ее координаты в новой системе координат, а x₀, y₀ - координаты нового начала O₁ в первоначальной системе координат.

Эти формулы позволяют определить первоначальные координаты точки x и y, если известны ее новые координаты и координаты нового начала в первоначальной системе координат.

Для обратного перехода от первоначальных к новым служат формулы

Первоначальную систему координат иногда называют исходной, иногда - старой.

31. Дайте описание метода приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Уравнение второго порядка вида  определяет на плоскости кривую. Группа членов  называется квадратичной формой – линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы. 

Канонический вид кривой второго порядка:   причем:  а) если λ₁>0; λ₂>0 – эллипс, в частности, при λ₁=λ₂ это окружность;  б) если λ₁>0, λ₂<0 (λ₁<0, λ₂>0) имеем гиперболу;  в) если λ₁=0 либо λ₂=0, то кривая является параболой и после поворота осей координат имеет вид  (здесь λ₂=0). Дополняя до полного квадрата, будем иметь: