25. Дайте описание вывода уравнений прямой на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

26. Опишите способы взаимного расположения двух прямых на плоскости. Назовите формулы для вычисления угла между прямыми.

Возможны 2 варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости: либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку), либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).

Для обозначения принадлежности точки некоторой прямой используют символ « ». К примеру, если точка А лежит на прямой а, то можно записать  . Если точка А не принадлежит прямой а, то записывают  .

Справедливо следующее утверждение: через любые две точки проходит единственная прямая.

Это утверждение является аксиомой и его следует принять как факт. К тому же, это достаточно очевидно: отмечаем две точки на бумаге, прикладываем к ним линейку и проводим прямую линию. Прямую, проходящую через две заданные точки (например, через точки А и В), можно обозначать двумя этими буквами (в нашем случае прямая АВ или ВА).

Пусть даны две прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

y = k1 · x + b1,            y = k2 · x + b2.

Найдем угол между первой и второй прямыми. Обозначим углы наклона прямых j1  и  j2. Тогда

k1 = tgj1 ,      k2 = tgj2.

Проведем через точку пересечения прямую, параллельную оси OX. 

   

 

 

- формула для вычисления угла между двумя прямыми.

1. Предположим, что прямые параллельны:

a = 0  Þ  tg a = 0   Þ  

k1 = k2 - условие параллельности прямых.

2. Предположим, что прямые перпендикулярны:

a = 900 Þ tg a не существует Þ ctg a = 0 Þ

Þ k1 · k2 = -1 - условие перпендикулярности прямых.

27. Дайте определение кривых второго порядка. Дайте определение эллипса, его фокусов, эксцентриситета, директрис. Запишите уравнения эллипса, опишите его геометрические свойства.

Кривой второго порядка называется множество точек плоскости, декардовые координаты x,y которых выполняют алгебраическому уравнению второй степени.

Эллипсам называется множество всех точек плоскости, для каждого из которых сумма расстояний до двух данных точек называемых фокусами эллипса. Есть величина постоянная (больше чем расстояние между фокусами)

Эксцентритета эллипса называется число Εε (эпсилон) называемое равенством

Директрисами эллипса называется прямые Д₁ , Д₂ перпендикулярные большой оси эллипса и расположены от центра O на расстояние от него.

Уравнение эллипса

Теорема. (Свойства эллипса.)

1. В канонической для эллипса системе координат, все

    точки эллипса находятся в прямоугольнике

                                 ,  .

2. Точки   лежат на

    эллипсе.

3. Эллипс является кривой, симметричной относительно

    своих главных осей.

4. Центр эллипса является его центром симметрии.