2.9.4.Нагрев неоднородного проводника

Зададим неоднородность проводника наиболее реальным с точки зрения электрических машин способом. Представим, что на участке проводника длиной наложена дополнительная изоляция, уменьшающая коэффициент теплоотдачи с поверхности. Следовательно, температура этого участка будет выше, чем вне его, и тепло будет передаваться от него по оси проводника. Выберем на расстоянии от начала координат элементарный объем и составим для него уравнение теплового баланса. Если в сечении температура равна , то в сечении температура равна

Количество тепла, входящее в объем через сечение :

Количество тепла, выходящее из объема через сечение :

Количество тепла, выделяющееся в объеме вследствие протекания тока:

Количество тепла, идущее на нагрев проводника:

Количество тепла, идущее на теплоотдачу в окружающую среду:

где - площадь поверхности теплоотдачи единицы длины проводника.

Получаем уравнение теплового баланса:

Для установившегося режима получаем:

Частное решение полученного неоднородного дифференциального уравнения позволяет определить превышение температуры проводника от собственных потерь без влияния более нагретого участка (при условии ):

Общее решение однородного дифференциального уравнения

позволяет определить свободную составляющую превышения температуры:

где .

Полное решение имеет вид:

Для определения констант задаем граничные условия:

при ;

при .

Получаем:

.

Окончательное решение имеет вид:

2.10.Нагрев цилиндрических катушек

Необходимо определить распределение температуры по сечению катушки и максимальную температуру. Допущения при расчете:

потери распределены равномерно по объему катушки;

отсутствует теплоотдача с торцов катушки;

удельная теплопроводность катушки постоянная;

изменение сопротивления в процессе нагрева не учитывается;

рассматривается установившийся режим нагрева.

Если в сечении температура равна , то в сечении температура равна

Количество тепла, передаваемое за счет теплопроводности через сечение в объем, ограниченный :

где - аксиальная длина катушки.

Количество тепла, выделяющееся в объеме при протекании по катушке тока :

где - потери в единице объема катушки.

Количество тепла, передаваемое за счет теплопроводности через сечение слоям, лежащим ближе к поверхности катушки:

Уравнение теплового баланса имеет вид:

После подстановки и преобразований получаем дифференциальное уравнение нагрева катушки:

В общем виде получаем решение уравнения:

В качестве граничных условий задаем температуры на наружной и внутренней поверхностях катушки:

при ; при .

Получаем выражения для констант:

]

Окончательная формула для распределения температуры имеет вид:

+

+ ]

Если исследовать полученное выражение на экстремум, можно получить значение радиуса, при котором температура внутри катушки максимальна:

2.11.Нагрев проводника в режиме короткого замыкания

При расчете нагрева проводника в режиме короткого замыкания тепловой поток, отдаваемый с поверхности в окружающую среду, не учитываем и считаем, что все выделяющаяся в проводнике энергия идет на его нагрев. При расчетах учитываем зависимость от температуры удельной теплоемкости и удельного сопротивления проводника.

С учетом сказанного выше, уравнение теплового баланса проводника имеет вид:

где и - удельное сопротивление и удельная теплоемкость проводника при температуре окружающей среды; и - температурные коэффициенты изменения удельного сопротивления и удельной теплоемкости материала проводника.

После преобразований получаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

Проинтегрировав это уравнение по времени от 0 до времени короткого замыкания и по превышению температуры от начального значения до конечного , получим при условии, что за время короткого замыкания ток не изменяется:

Преобразовав правую часть, можно представить ее в виде суммы двух слагаемых, одно из которых будет функцией , другое – функцией :