2.8.4.Плоская стенка с внутренними потерями

Предположим, что стенка имеет размер в направлении оси , а размеры стенки в направлении осей и значительно больше . В связи с этим полагаем, что:

;

Рассматриваем установившийся нагрев и считаем, что удельная теплопроводность не зависит от температуры. Предполагаем, что по всему объему стенки равномерно распределены потери объемной плотностью . Принимаем также, что температура окружающей среды и условия теплоотдачи по обе стороны стенки одинаковы. При этих допущениях дифференциальное уравнение нагрева имеет вид:

В общем виде решение уравнения

Граничное условие задаем в виде:

При

Получаем выражение для константы :

Тогда окончательное распределение температуры имеет вид:

Если задать в качестве граничных условий температуру окружающей среды и коэффициент теплоотдачи с поверхности, получим следующее распределение температуры:

2.9.Нагрев и охлаждение однородного проводника

Однородным будем считать проводник, у которого по всей длине остаются неизменными поперечное сечение, периметр, условия теплоотдачи с поверхности и физические свойства.

2.9.1.Нагрев однородного проводника в режиме s1.

Количество тепла, выделяющееся в единице длины проводника при протекании по нему тока за время :

где - удельное сопротивление материала проводника, приведенное к температуре :

- удельное сопротивление материала проводника при температуре окружающей среды; - температурный коэффициент сопротивления;

- превышение температуры проводника; - коэффициент вытеснения тока;

- сечение проводника.

Количество тепла, затрачиваемое на нагрев проводника:

где - плотность материала проводника.

Количество тепла, отдаваемое с поверхности проводника в окружающую среду:

В общем виде уравнение теплового баланса имеет вид:

Решение уравнения получаем в таком виде:

где - установившееся превышение температуры:

- постоянная времени нагрева:

Дифференциальное уравнение остывания можно получить из дифференциального уравнения нагрева, если принять .

Во многих случаях целесообразно для упрощения расчетов принять , т. е. не учитывать зависимость удельного сопротивления от температуры. При этом установившееся превышение температуры равно:

2.9.2.Нагрев проводника в кратковременном режиме

Задача расчета – подобрать такой ток кратковременного режима , при котором за время проводник нагреется до такой же температуры, как и при протекании в продолжительном режиме тока . Установившееся превышение температуры в продолжительном режиме при условии :

Превышение температуры по окончании времени кратковременного режима:

Приравнивая полученные превышения температур, получим соотношение между токами кратковременного и продолжительного режима:

2.9.3.Нагрев проводника в повторно - кратковременном режиме

Задача расчета – подобрать такой ток повторно - кратковременного режима , при котором за время проводник нагреется до такой же температуры, как и при протекании в продолжительном режиме тока . Установившееся превышение температуры в продолжительном режиме при условии :

Максимальное превышение температуры в квазиустановившемся режиме нагрева:

где - установившееся превышение температуры в продолжительном режиме при протекании тока ; и - время включения и время цикла соответственно.

Приравнивая полученные превышения температур, получим соотношение между токами повторно - кратковременного и продолжительного режима: