2.6.Виды теплообмена в электрических машинах
В твердых телах при
непосредственном соприкосновении
частиц теплообмен осуществляется
посредством теплопроводности, при этом
количество тепла, передаваемое за время
через сечение площадью
определяется
по формуле:
где
- удельная теплопроводность материала;
- градиент температуры.
Между поверхностью твердого тела и обтекающим его потоком газа или жидкости осуществляется конвективный теплообмен, уравнение которого имеет вид:
где
- коэффициент теплоотдачи с поверхности;
- площадь поверхности теплоотдачи;
и
- температуры поверхности тела и
окружающей среды соответственно.
В общем виде дифференциальное уравнение нагрева (уравнение Пуассона) имеет вид:
2.7.Нагрев однородного тела
Однородным с точки зрения нагрева можно считать тело, у которого:
температура во всех точках внутри и на поверхности одинакова;
выделяющиеся в теле потери
равномерно
распределены по всему объему;
физические свойства тела по всему объему одинаковы;
коэффициент теплоотдачи со всех точек поверхности одинаков.
Предположим, что в теле
выделяются потери мощностью
.
Выделяющаяся за время
энергия частично расходуется на нагрев
тела, частично – на теплоотдачу в
окружающую среду.
Дифференциальное уравнение нагрева однородного тела имеет вид:
Если от температуры перейти
к превышению температуры, т. е. предположить,
что
,
решение уравнения имеет вид:
где
- установившееся превышение температуры:
- постоянная времени нагрева:
Физический смысл постоянной времени нагрева – это время, за которое тело нагрелось бы до установившейся температуры без теплоотдачи в окружающую среду.
2.8.Теплопередача в телах простейшей конфигурации
2.8.1.Плоская стенка без внутренних потерь
Предположим, что стенка имеет
размер
в направлении оси
,
а размеры стенки в направлении осей
и
значительно больше
.
В связи с этим полагаем, что:
;
Рассматриваем установившийся нагрев и считаем, что удельная теплопроводность не зависит от температуры. При этих допущениях уравнение Пуассона имеет вид:
Решение уравнения имеет вид:
При задании граничных условий в виде:
при
;
при
получаем решение
2.8.2.Полый цилиндр
Предположим, что высота цилиндра значительно больше его радиусов. При этом можно считать, что теплопередача осуществляется только в радиальном направлении. Уравнение теплопередачи имеет вид:
Полученное дифференциальное уравнение можно решить разделением переменных. При граничных условиях в виде:
при
;
при
получаем решение
2.8.3.Теплопередача вдоль стержня
Предположим, что стержень из материала с удельной теплопроводностью , длиной и сечением нагревается за счет теплопередачи от нагретой стенки.
Выберем на расстоянии от начала координат элементарный объем .
Если в сечении
температура равна
,
то в сечении
температура равна
Дифференциальное уравнение теплового баланса для объема имеет вид:
где
- коэффициент теплоотдачи с поверхности;
- площадь поверхности теплоотдачи;
- температура окружающей среды;
- периметр сечения стержня.
Переходим к превышению температуры для того, чтобы избавиться от температуры окружающей среды. В общем виде решение уравнения имеет вид:
где
.
Для определения констант задаем граничные условия:
При
,
при
Получаем следующие выражения
для
и
:
;
Окончательное выражение для распределения температуры вдоль стержня:
Данная расчетная модель
применима, например, для расчета
распределения температуры по наружным
ребрам асинхронных двигателей обдуваемого
исполнения. Эффективность оребрения
можно оценить по величине теплового
потока, проходящего через сечение
Выражение для этого теплового потока
имеет вид:
Так как при увеличении аргумента величина гиперболического тангенса стремится к 1, с увеличением высоты ребер тепловой поток, отводимый с их поверхности, стремится к какому – то значению, поэтому данная методика применима для оптимизации размеров внешнего оребрения.