17. Свойства операций над векторами.

Некоторые из них очевидны:

1)Свойство коммутативности:

2)Свойство ассоциативности сложения:

3)Существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевой вектор , и . Это свойство очевидно.

5)Для любого ненулевого вектора существует противоположный вектор и верно равенство Это свойство очевидно без иллюстрации.

6)Сочетательное свойство умножения . К примеру, растяжение вектора в 6 раз можно произвести, если сначала его растянуть вдвое и полученный вектор растянуть еще втрое. Аналогичного результата можно добиться, например, сжав вектор вдвое, а полученный вектор растянуть в 12 раз.

7)Первое распределительное свойство . Это свойство достаточно очевидно.

8)Второе распределительное свойство . Это свойство справедливо в силу подобия треугольников, изображенных ниже. Нейтральным числом по умножению является единица, то есть, . При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.

18. Скалярное произведение векторов и его свойства, нахождение угла между векторами.

Скалярное произведением 2-х векторов n-мерного пространства называется число

Скалярное произведение векторов может рассматриваться, как частный случай произведения матриц если

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

Векторное пространство в котором задано скалярное произведение векторов с перечисленными св-вами называют Евклидовым.

В таком пространстве сущ-ет понятие длины вектора (нормы вектора) и угла фи между векторами

19. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Условие коллинеарности векторов.

Упорядоченная тройка векторов

называется правой, если кратчайший поворот от первого вектора ко 2-ому (от а к в) с конца вектора с выглядит происходящим против часовой стрелки. B противном случае — левая тройка.

Векторным произведением векторов

называется вектор с, если:

1)

2)

3)

Векторное произ-ие через координаты векторов сомножителей м.б. записана так:

Отсюда ясно, что векторное произведение 2-х равных векторов или коллениарных векторов(направлены вдоль параллельных прямых или на 1-ой прямой)=0

Основные св-ва векторного произ-ия:

1)если хотя бы 1 из сомножителей =0, то вект. произ-ие =0)

2)вект. произ-ия любых коллениарных векторов=0

3)

4)

5)При перестановке сомножителей векторное произ-ие изменяет знак

Геометрический смысл :

Модуль векторного произведения векторов численно = площади параллелограмма построенного на векторах сомножителях.