1.Ма́трица — мате

матический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы лементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы^[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими. Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

1)ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА [unit matrix, identity matrix] — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, напр.:

Е. м. применяется при обращении матриц, в частности при расчете коэффициентов полных затрат вмежотраслевом балансе, и обозначается E или I.

2) Треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю.

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении линейных систем уравнений, когда

матрица системы сводится к треугольному виду используя следующую теорему:

Любую нулевую матрицу путём элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов можно привести к треуг. виду.

Любая квадратная матрица, имеющая отличные от нуля главные миноры, представима произведением двух матриц: верхнеугольной и нижнетреугольной. Разложение единственно если фиксированы (заранее оговорены) элементы главной диагонали одной из них.

3) Диагональная матрица- 

квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

4) Вектор-строка, вектор-столбец[column vector, row vector]. Если определять вектор через понятие матрицы размерностью m × n, то матрица, у которой число m = 1, представляет собой вектор-строку, если n = 1, то она вектор-столбец. Обозначаются они так: x = (x₁, ..., x_j, ..., x_n),

Вектор-столбец для упрощения набора часто записывают иначе: x = (x₁, ..., x_j, .., x_m)′.

5)Сложение матриц

Сложение матриц А+В  есть операция нахождения матрицы С, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц А и В, то есть каждый элемент матрицы С равен

Свойства сложения матриц:

1.коммутативность: A+B = B+A;

2.ассоциативность: 

(A+B)+C =A+(B+C);

3.сложение с нулевой матрицей: 

A + Θ = A;

4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образуют линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства). Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости (которой нет в наиболее обычных стандартных применениях) и четкого уточнения употребления термина называть векторами.

5) Транспонированная матрица А обозначается   . Операция транспонирования заключается в том, что строки и столбцы в исходной матрице меняются ролями. В транспонированной матрице первым столбцом служит первая строка исходной матрицы, вторым столбцом -- вторая строка исходной матрицы и т.д. Например,

6) Умножение матрицы А на число λ (обозначение: А λ) заключается в построении матрицы В, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы А на это число, то есть каждый элемент матрицы В равен:

Свойства умножения матриц на число:

1. 1A = A;

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число.

7) Свойства линейных операций.

1. A + B = B + A , если А и В – матрицы одного размера

2. A + 0 = A , добавление нулевой матрицы не меняет матрицы А.

3. (A + B) + C = A+(B+C)

4. Существует единственная матрица (-1) .A=-A , если A+(-A) = 0

5. b .A=0, если b = 0 .

6. b (A+B) = bA +bB, b = const.

2. Умноже́ние ма́триц — одна из

основных операций

над матрицами. Матрица,

получаемая в результате

операции умножения,

называется произведе́нием

ма́триц. Свойства

Сочетательное свойство:

A(BC)=(AB)C

Распределительное свойство:

Произведение матрицы

на единичную матрицу Е  подходящего порядка равно самой матрице:

Произведение матрицы на нулевую матрицу 0 подходящей размерности равно нулевой матрице:

Если А и В — квадратные матрицы одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств.

Умножение матриц в целом некоммутативно:

Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными или коммутирующими между собой.

Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц:

det(AB)=det(BA)=detA*detB

tr(AB)=tr(BA)

3.1)Понятие определителя квадратной матрицы A порядка n = 1,2,3,….

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице

2)Определитель матрицы второго порядка

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Например, пусть:

3)Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

4. 1)Определитель n-ого порядка- это число, которое ставится в соответствии квадратной матрицы n*n и вычисляется по следующей формуле:

Свойства определителей: 1. Свойство равноправности строк и столбцов.  2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк ( или двух столбцов ).  3. Линейное свойство определителя.  Эти три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.  Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками ( или столбцами ) равен нулю. Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя на число a равносильно умножению определителя на это число a. Иными словами , общий множитель всех элементов некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя можно вынести за знак этого определителя. Следствие 3. Если все элементы некоторой строки ( или некоторого столбца ) равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Следствие 4. Если элементы двух строк ( или двух столбцов ) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. Следствие 5. Если к элементам некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки ( другого столбца ), умножение на произвольный множитель , то величина определителя не изменяется.

2)Минор

Минором  элемента  матрицы  n-го  порядка называется определитель матрицы  (n-1)-го порядка, полученный из матрицы  А  вычеркиванием  i-й строки и  j-го столбца.

При выписывании определителя  (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.

Пример: Составить минор  , полученную из исходной матрицы:

Решение:

3)Алгебраические дополнения

Алгебраическим дополнением  А_ij  элемента а_ij матрицы  n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца: то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

Пример: Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

Решение:

5. 1)Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарными преобразованиями матрицы называют:

1) умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число;

2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число;

3) перестановку местами любых двух строк (столбцов).

4)вычеркивание нулевых строк (столбцов) матрицы

5)транспонирование матрицы

Элемент. преобразования не изменяют ранг матрицы

2)Ранг матрицы.

Из матрицы вычеркиваем каких-либо строк и столбцов можно выделить квадратную матрицу порядка

Определители таких подматриц называют минорами катого (к) порядка.

Рангом матрицы называют наибольший порядок отличного от 0 минора (такой минор называют базисным). Считается, что ранг нулевой матрицы =0.

Пример:

6. 1) Невырожденная матрица (иначе Неособенная матрица) –квадратная матрица, определителькоторой отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.

Для квадратной матрицы М над полем 

невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

М обратима, то есть существует обратная матрица;

строки (столбцы) матрицы М линейно независимы;

элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицу М можно привести к единичной матрице;

ранг матрицы равен её размерности.

2)Нахождение обратной матрицы квадратной матрицы А.

А*-матрица составленная из алгебраических дополнений А элементов а матрицы А.

7. 1)Системы линейных алгебраических уравнений.

Системы m линейных алгебраических ур-ий с n неизвестными называют совокупность равенств вида:

a -коэффициент системы лин. алгеб. ур-ий

x -неизвестные(которые необходимо найти)

b -свободные коэффициенты

С использованием матричных обозначений системы ур-ий *может выглядеть так:

А* =B – это матричное ур-ие равносильно системе ЛАУ*

Иногда систему ур-ий * записываю так:

Решением системы ур-ий ЛАУ* называют всякий набор чисел

, которые при подстановке обращает каждое из ур-ий в тождество (верн. равенство)

Если система ур-ий имеет хотя бы одно решение, то её называют совместной (а если решения нет, то несовместной).

Если система ур-ий * такова , что

, то её называют однородной. Такая система ур-ий всегда совместна. У неё имеется нулевое решение, которое называют тривиальным.

Расширенной матрицы системы ур-ий * называют матрицу систему с добавленным к ним вектором столбцом В.

Если размерность матрицы , то размерность матрицы

2)Критерий совместности системы ЛАУ: (теорема Кронекере Капелли)

Система ЛАУ *:

а) совместна и имеет единственное решение, если ранг матрицы системы =рангу расширенной матрицы системы и = числу неизвестных n.

б) Совместна и имеет бесчисленное множество решений, если

в) Несовместна, если

Решения нет.

8. 1) Матричный метод

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы

 

и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов 

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A:

Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

2)Метод Крамера:

Применимо лишь для случая, когда ,т.е. когда система ур-ий имеет единственное решение, в этом случае его можно найти так:

3)Метод Гаусса: Метод Гаусса- это метод последовательного исключения неизвестных.

9. 1)Решение произвольной системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Пусть дана m линейных ур-ий с n неизвестным.

Последовательно исключая неизвестные и выполняя преобразования получим систему ур-ий равносильную исходной.

Если среди чисел есть отличные от нуля, то исходная система ур-ий не совместна. А если все они =о, то ур-ие типа 0=0 можно отбросить и рассматривать лишь 1-ое r полученных ур-ий.

Дальнейшими преобразованиями эти ур-ия могут быть приведены к виду:

составленный из коэффициентов перед переменными x был отличен от 0=r такие переменные x называют базисными, а переменные x

называют свободными.

Свободные переменные могут принимать произвольные значения, а базисные переменные из ур-ий (*) легко выразить через свободные переменные.

Базисными называют такое решение системы мен. ур-ий, в котором свободные переменные полагаются =0.

Выбор базисных переменных не однозначен (важно, чтобы определитель был отличен от 0, а всего различных базисных решений сущ-ет не больше, чем

А общее решение исходной системы ЛАУ м.б. записано в виде:

Где свободные переменные могут принимать произвольное значение, а базисные выражаются через свобод.

Общее решение исходной системы ЛАУ м.б. записано в различных видах: т.к. выбор базисных и свободных переменных не однозначен.

10.1)Величина, которая полностью характеризуется своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром (масса, объем, температура). Скаляр определяется числом, положительным, отрицательным или равным нулю. Если величина характеризуется еще и направлением, то она называется векторной или вектором (сила, скорость и так далее). Таким образом, вектор определяется числом и направлением.

Многие вопросы как теоретического, так и прикладного характера приводят к рассмотрению упорядоченных совокупностей чисел (величин). Например, план работы предприятия, выраженный в определенных числовых показателях, рост цен за ряд лет и так далее. Если отвлечься от конкретного смысла объектов, мы приходим к следующему понятию.

Определение 1.1. Множество всех упорядоченных совокупностей по n чисел (х₁,х₂,...,х_n) называется арифметическим n-мерным пространством (Rⁿ)

(n - размерность пространства).

Будем теперь предполагать, что на плоскости или в пространстве всегда фиксирована некоторая прямоугольная система декартовых координат. Тогда каждая точка будет определена своими координатами А(х₁,х₂,...,х_n), В(у₁,у₂,...,у_n).

Арифметическое пространство R¹ (или R) образует множество действительных чисел. R² представляет собой плоскость, при этом имеем

R³ - это трехмерное пространство; при этом имеем

В случае Rⁿ мы имеем дело с n-мерным пространством и тогда

2)Линейные операции

1.Введем понятие о векторе О, модуль которого равен 0 (направление произвольно).

2. , если они расположены на параллельных прямых или совпадают, и , и одинаково направлены - в этом случае мы не будем их различать, то есть имеем так называемый свободный вектор, который допускает перенос его в любую точку пространства.

3.

а) переместительное свойство

б) сочетательное свойство

в) для всякого существует такой, что - нулевой вектор.

4.

5. ( k > 0, k < 0 )

6. (так называемый орт), при этом

3) Множество векторов с введёнными для них операциями сложения и умножения на число называется векторным пространством.

Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;

4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,

5) 1 · х = х,

6) a(bx) = (ab) х (ассоциативность умножения);

7) (a + b) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);

8) a(х + у) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

4) Евклидово пространство (в математике), пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. называется n-мepное векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные координаты (декартовы) так, что метрика его будет определена следующим образом: если точка М имеет координаты (х₁, х₂,..., x_n), а точка М* — координаты (x₁*, x₂*,..., x_n*), то расстояние между этими точками

11. Вектор называют линейно зависимыми если сущ-ют такие числа не равны 0 одновременно, что

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n,при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_n отлично от нуля.

12.1) Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виделинейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

2)Если скалярное произведение векторов х и у =0, то эти векторы называют ортогональными (параллельны).

13. Понятие о линейном преобразовании. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора и квадратной матрицы.

Если задано правило по которому вектору из пространства ставится в соответствии единственный вектор из пространства , то говорят, что задано преобразование (оператор)

Если оператор А то, что:

1)

2)

Далее будем рассматривать линейные операторы, которые преобразует вектор в вектор того же пространства.

Если вектор заданы в некотором базисе, то действие линейного оператора на вектор

, м.б. представлена матрицей А линейного оператора

Здесь Х и У вектор столбцы составляющие

Вектор называется собственным вектором оператора ,если он удовлетворяет условно

Лямбда некоторое число, которое называют собственным значением оператора А.

В матричных обозначениях матрица принимает вид

здесь А –квадратная матрица оператора, лямбда-собственное значение матрицы А, Х-собственным вектором матрицы А.

Матричное уравнение * равносильно системе ЛАУ

Преобразуем * следующим образом

Это матричное уравнение равносильно системе однородных ур-ий (когда в правой части все числа=0)

Эта система ур-ий имеет не нулевые решения лишь при выполнении условия

Характеристическое нахождение лямбда.

14. Однородные системы линейных алгебраических уравнений условие существования нетривиального решения системы n однородных линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

Однородная система линейных

ур-ий в этом случае в матричных обозначениях имеет вид.

Где А-квадратная матрица системы

0(ноль)-нулевая матрица соответствующей размерности (В=0)

Расширенная матрица для такой системы ур-ий в этом случае всегда ,т.е. система ур-ий совместна.

При система ур-ий имеет единственное решение . (нулевое)-его называют тривиальным, а не нулевые решения возможны лмшь тогда, когда , где detA=0

Система ЛАУ * имеет не тривиальное решение тогда и только тогда, когда detA=0

15. Квадратичные формы. Канонический вид квадратичной формы. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы и матрицы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратной матрицы.

Выражение вида

Однородное квадратичное ф-ия 2-х переменных или квадратичной формой.

Это квадратичная форма м.б. записана с использованием матричных обозначений

Квадратичной формой n-переменных называют выражения вида

, а квадратная симметрическая матрица n-порядка

Если квадратичная форма содержит только лишь квадраты переменных, то её называю канонической.

Если квадратичная форма

для всех нетревиальных ур-ий, то её называют положительно определенной

, то называют отрицательно определенной

Если в зависимости от выбора переменных квадратичная форма

Изменяет свой знак, то квадратичную форму называют неопределенной.

Ясно, что определенность квадратичной формы зависит от её матрицы А поэтому часто говорят об отрицательной и положительной определенности матрицы А (квадратичной формы).

Необходимые и достаточные условия полож. (отриц.) определенности симметрической матрицы А.

Для того, чтобы симметрическая матрица А была полож. определённой необходимо и достаточно, чтобы всё её собственные значения были положительны (а для отрицательной определенности отрицательны)

Если среди собственных значений встречаются, как полож., так и отриц. Числа, то матрица А является неопределенной.

Если матрица А полож. – определенная, то матрица – А будет отрицательно определенной.

Детерминантный критерий Сильвестра.

Полож. Определенности симметрической матрицы.

Матрица квадр. формулы.

Если все главные миноры полож., то матрица является определ. полож.

Вектор в пространстве:

16. 1)Векторы в пространствах R³ , R² , R¹, их геометрическое представление.

Вектор харак-ся своей длиной- длина отрезка

прямая АВ

2-а вектора называются равными, если их направления и длины равны.

Далее для общности рассматриваем векторы в пространстве R^3.

В этом пространстве традиционно выбирается ортонормированный базис векторов.

(1;0;0)=

(0;1;0)=

(0;0;1)=

Вместе с некоторой т.ч. 0 началом координат этот базис образует дикартову систему координат . Оси координат направлены вдоль векторов базиса.

Положение любой т.ч. m в пространстве задается с помощью её радиуса вектора

Координаты т.ч. m это координаты её радиус вектора Линейные операции над такими векторами выполняются по обычным правилам введённым нами ранее для n-мерных векторов

2) Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.

Свойство: Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Так в случае плоской задачи направляющие косинусы вектора a = {ax; ay} находятся по формулам

cos α = ; cos β =

3) Сложение векторов.

Операции сложения и вычитания векторов геометрически интерпретируются так:

Сложение по правилу параллелограмма:

По правилу треугольника:

4) Умножение вектора на число.

Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, коллинеарный данному, а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.

Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.

Так в случае плоской задачи произведение вектор на на число b находится по формуле

a · b = {ax · b; ay · b}