6.5 Вопросы к защите практической работы №6
1. Дать определение математического ожидания дискретной случайной величины.
2. Свойства математического ожидания.
3. Дать определение дисперсии дискретной случайной величины. Теорема для вычисления дисперсии ДСВ.
4. Свойства дисперсии.
5. Дать определение среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.
6. Дать определение моде и медиане дискретной случайной величины.
Практическая работа №7
Тема: Решение задач на биноминальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение вероятностей и равномерно распределённую НСВ.
Цель работы: Изучить понятия биноминального распределения, распределения Пуассона, геометрического распределения, равномерно распределённой НСВ. Научиться вычислять вероятности для данных распределений и их характеристики.
7.1 Теоретические сведения к практической работе №7
7.1.1 Биноминальное распределение вероятностей
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q=l-р). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.
Поставим
перед собой задачу: найти закон
распределения величины X. Для ее решения
требуется определить возможные значения
X и их вероятности. Очевидно, событие А
в n
испытаниях может либо не появиться,
либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо
n
раз. Таким образом, возможные значения
X таковы:
,
,
,
…,
.
Остается найти вероятности этих возможных
значений, для чего достаточно
воспользоваться формулой Бернулли:
,
где k=0,
1, 2, …, n.
Формула Бернулли и является аналитическим выражением искомого закона распределения.
Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
Таким
образом, первый член разложения
определяет
вероятность наступления рассматриваемого
события n
раз в n
независимых испытаниях; второй член
определяет вероятность наступления
события n—1
раз; ...; последний член определяет
вероятность того, что событие не появится
ни разу.
Напишем биномиальный закон в виде таблицы (см. таблицу 2)
Таблица 2 – Биноминальный закон распределения
Х |
n |
n-1 |
… |
k |
… |
0 |
р |
|
|
… |
|
… |
|
Пример: Монета брошена 2 раза. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».
Решение: вероятность появления «герба» при каждом бросании монеты p=1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q = 1 – p = 1 – 1/2 = 1/2.
В 2-х испытаниях «герб» может появиться 2 раза, 1 раз или совсем не появиться. Таким образом, возможные значения случайной величины Х: x1=2, x2=1, x3=0. Найдём вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:
=
0,25
=
0,5
=
0,25
Составим закон распределения:
x |
2 |
1 |
0 |
p |
0,25 |
0,5 |
0,25 |