3.6 Вопросы к защите практической работы №3

1) Дать определение суммы событий. Привести пример.

2) Сформулировать теорему сложения вероятностей несовместных событий.

3) Какие события называют противоположными? Примеры.

4) Сформулировать теорему о сумме вероятностей противоположных событий.

5) Дать определение произведения событий.

6) Дать определение условной вероятности.

7) Сформулировать теорему умножения вероятностей.

8) Какие события называются независимыми?

9) Сформулировать теорему вероятности появления хотя бы одного события.

10) Формула полной вероятности.

11) Формулы Байеса.

Практическая работа №4

Тема: Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли.

Цель работы: Изучить понятие схемы Бернулли, формулу Бернулли, локальную и интегральную формулы Муавра – Лапласа. Научиться вычислять вероятности событий в схеме Бернулли, применять локальную и интегральную формулы Муавра – Лапласа к решению задач.

4.1 Теоретические сведения к практической работе №4

4.1.1 Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Теорема Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие наступит ровно k раз, равна

, (15)

где n – количество испытаний;

k – число появления события А;

p – вероятность появления события А в одном испытании;

q – вероятность не появления события А в одном испытании.

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

4.1.2 Локальная теорема Лапласа

Формула Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появится в n испытаниях ровно k раз. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Локальная теорема Лапласа даёт формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испы­таний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции

, (16)

где .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х (приложение А). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четна, т. е. . Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

, (17)

где .