БОЛЬШОЙ набор материала по курсу / 1.7 Уравнение непрерывнсти

Уравнение непрерывности

Концентрация неравновесных носителей в любой области полупроводника может меняться в результате действия следующих факторов:

тепловой генерации и рекомбинации;

генерации за счет внешнего источника;

притока из соседних областей.

Рассмотрим одномерный случай, когда концентрация носителей меняется вдоль координаты Х. В качестве примера возьмем концентрацию электронов в полупроводнике.

Выделим слой полупроводника толщиной и сечением 1 см². Объем этого слоя равен . Если концентрация электронов равна , то число электронов в слой равно . Изменение числа электронов за время равно

=

Вспомним, какие процессы приводят к изменению числа электронов.

Во-первых, число носителей изменяется вследствие тепловой генерации и рекомбинации.

Вследствие рекомбинации – генерации число пар в 1 см² за 1 с изменяется на величину

Тогда изменение числа носителей в слое за время составляет

Если концентрация носителей превышает равновесную, то имеет место преимущественно рекомбинация и знак скорости изменения концентрации носителей будет отрицательным. Если же концентрация носителей меньше равновесной, то преобладает тепловая генерация и знак скорости изменения концентрации носителей будет положительной.

Во-вторых, через границу слоя за время в слой втекает (площадь слоя равна 1 см²) электронов, а вытекает электронов. Изменение числа электронов в слое за счет разности этих потоков равно

Следовательно, полное изменение числа электронов с учетом процессов генерации за счет внешних факторов будет равно

Здесь - скорость генерации носителей за счет внешних факторов (электромагнитное или корпускулярное излучение). Скорость генерации носителей за счет внешних факторов не следует путать со скоростью тепловой генерации, определяемой соотношением при условии, что концентрация носителей меньше равновесной.

Откуда для скорости изменения концентрации электронов получим

Но поток электронов удобнее выразить через ток, переносимый электронами

Тогда

Последнее соотношение можно записать иначе в виде

Это уравнение называется уравнением непрерывности для электронов. Можно записать аналогичное уравнение непрерывности для дырок, которое будет отличаться от последнего только знаком при дивергенции.

Итак, если в полупроводнике отсутствуют диффузионные и дрейфовые потоки носителей заряда, а, значит, и соответствующие им токи, то изменение концентрации носителей заряда может происходить только за счет генерации и рекомбинации:

где - скорости генерации дырок и электронов, и - скорости рекомбинации дырок и электронов соответственно.

Однако реальные процессы всегда происходят при наличии потоков заряженных частиц, поэтому в уравнение, характеризующее изменение заряда в заданном объеме (уравнение непрерывности), должен входить член, учитывающий потоки носителей:

где q - заряд электрона.

Плотности токов электронов и дырок определяются известными нам соотношениями:

и

В стационарных условиях (когда нет зависимости от времени) в одномерном случае уравнение непрерывности для электронов имеет простой вид

а для дырок

Если генерация за счет внешних факторов отсутствует, то последние уравнения упрощаются еще больше

и

В областях вблизи слоя объемного заряда уравнения непрерывности можно записать в следующем виде:

для электронов в полупроводнике p-типа

и для дырок в полупроводнике n-типа

Такая запись уравнений соответствует случаю, когда ток подвижных носителей заряда вблизи слоя объемного заряда (но не в самом слое!) является только диффузионным.

В стационарном состоянии уравнения непрерывности переходит в диффузионные уравнения

и

Решение этих однородных уравнений второго порядка можно записать в виде

и

где L_n и L_p – диффузионные длины, определяемые соотношениями

,

Диффузионную длину можно представить как среднее расстояние, проходимое подвижным носителем тока (электроном или дыркой) за время жизни.

Коэффициенты А, В, С, D можно определить из граничных условий. При , т.е. вдали от слоя объемного заряда в полупроводнике n типа концентрация дырок должна стать равной равновесной концентрации .Тогда коэффициент B должен быть равен нулю. Аналогично можно получить, что коэффициент С также равен нулю. Тогда формулы для концентраций неосновных носителей упростятся:

и

Конкретные значения коэффициентов А и D будут уже определяться смещением на переходе.

Диффузионные уравнения могут быть представлены как зависимость избыточной концентрации и от координаты. Полные концентрации электронов и дырок , равновесные концентрации и и избыточные концентрации и связаны простыми соотношениями:

Тогда диффузионные уравнения можно записать в виде