Статистика носителей заряда в полупроводниках
1. Статистическое описание коллектива частиц. Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны
Напомним, что согласно результатам зонной теории твердых тел электроны в кристаллах удобно рассматривать как свободные частицы, эффективная масса которых отличается от массы свободного электрона. В полупроводниках, кроме электронов, носителями заряда являются и положительно заряженные частицы - дырки. Таким образом, в явлениях, в которых основную роль играют эти частицы (электропроводность, теплопроводность, взаимодействие со светом и т.д.) твердое тело можно рассматривать как газ электронов и дырок.
Системы, состоящие из большого количества тождественных частиц, являются предметом изучения статистической физики. Основной особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер. Хорошо известен метод статистического описания коллектива молекул идеального газа. Несмотря на то, что скорость отдельной молекулы газа является величиной случайной, в газе, состоящем из большого числа одинаковых молекул, наблюдается определенная закономерность в распределении их по скоростям. Используя методы статистической физики, всегда можно указать, какая доля молекул имеет скорость, заключенную в данном интервале значений.
Основная задача статистики состоит в определении числа частиц, энергия которых лежит в заданном интервале. Результатом решения этой статистической задачи является нахождение функции распределения частиц по энергиям, которую обозначают обычноf(E).ЕслиdZ- число возможных состояний ансамбля частиц с энергией, заключенной в интервале отEдоE+dE, аdN- число частиц, находящихся в этих состояниях, то по определению
|
|
(1) |
Таким образом, функция распределения частиц по энергиям есть плотность заполнения данных состояний частицами.
Для молекул идеального газа f(E) известна какфункция распределения Максвелла-Больцмана:
|
|
(2) |
где k- постоянная Больцмана;Т- абсолютная температура.
Формулу (2) называют часто также каноническим распределениемилираспределением Гиббса. Из этого распределения можно легко получить известное из молекулярной физикираспределение Максвелламолекул идеального газа по скоростям теплового движения. Статистика молекул идеального газа исходит из следующих основных положений:
1. Молекулы газа подчиняются законам классической механики.
2. Молекулы газа обладают индивидуальностью, позволяющей отличать их друг от друга. Поэтому, когда две молекулы, находящиеся в разных состояниях меняют местами, это приводит к новому распределению их по состояниям (новому микросостоянию).
3. Предполагается, что все способы распределения равновероятны.
Предположение о том, что электронный газ в металлах подчиняется статистике Максвелла-Больцмана, опровергается рядом экспериментальных результатов. Например, из этого предположения следует, что электроны должны давать вклад в теплоемкость металлов, который примерно на два порядка больше экспериментально наблюдаемой величины. Противоречие снимается, если учитывать квантовые свойства частиц в кристаллах.
В отличие от классической статистики Максвелла-Больцмана квантовая статистика стоит на точке зрения принципиальной неразличимости тождественных частиц. Поэтому перестановка местами двух квантовых частиц не приводит к новому микросостоянию. Для электронов и всех частиц с полуцелым спином необходимо учитывать такжепринцип Паули. Напомним, что согласно этому принципу в одном квантовом состоянии может находиться только одна частица. Такие частицы называютсяфермионамии подчиняютсяквантовой статистике Ферми-Дирака.
Иной квантовой статистикой описываются частицы с нулевым и целым спином. Эти частицы не подчиняются принципу Паули, и в одном состоянии их может быть сколько угодно. Такие частицы называются бозонами, квантовая статистика, которая описывает их распределение по энергиям, -статистикой Бозе - Эйнштейна. Сравнение этих трех статистик приведено на рис. 1 на примере распределения двух частиц по трем состояниям. Различные состояния частиц на этом рисунке изображены клетками.
Все возможные способы распределения двух частиц, подчиняющихся классической статистике Максвелла-Больцмана,по трем состояниямпоказаны на рис. 1,а. Поскольку частицы в этой статистике различимы, они обозначены разным цветом. Всего возможно девять микросостояний, математическая вероятность каждого из них равна 1/9. Для бозонов число возможных микросостояний равно 6 (рис. 1,б), а вероятность каждого из них - 1/6. Для фермионов микросостояния, в которых в каждом состоянии находятся по две частицы, реализоваться не могут. Остаются в статистике Ферми-Дирака только три возможных микросостояния, изображенные на рис. 1в. Вероятность каждого из них равна 1/3.
Рис. 1. Сравнение различных статистик на примере распределения двух частиц по трем состояниям: а - статистика Максвелла-Больцмана; б - статистика Бозе - Эйнштейна; в - статистика Ферми-Дирака
Статистике Бозе - Эйнштейна подчиняются фотоны и фононы, играющие важную роль в физических свойствах твердых тел. Функция распределения Бозе - Эйнштейна имеет вид
|
|
(3) |
Здесь ЕВ- химический потенциал системы бозонов.