лекции 1 курс. Богданов А.А

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Лекция 2 Движения тела по окружности. Угловая скорость, нормальное и

тангенициальное ускорение. Движение по криволинейной тракектории.

Введем единичный вектор τ, связанный с движущейся материальной точкой и направленный по касательной к траектории в сторону скорости.

Вектор скорости v материальной точки направлен по касательной к траектории, поэтом его можно определить следующим образом:

v=vτ τ

После ряда преобразований получаем выражение для ускорения материальной точки

w= dv = dvτ τ+ v2 n dt dt R

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Кинематика. 2.2

При стремлении начальной и конечной точек траектории друг к другу отрезок траектории между ними стремится к дуге окружности с центром в некоторой точке. Эту точку называют центром кривизны траектории в данной точке, а радиус R соответствующей окружности - радиусом кривизны траектории в данной точке

Первое слагаемое в этом выражении называется тангенциальным ускорением wτ, второе нормальным wn:

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Кинематика. 2.3

Таким образом, полное ускорение w материальной точки может быть представлено как сумма двух векторов тангенциального и нормального ускорений. Один из, которых wn перпендикулярен к вектору скорости v, а второй wτ направлен по касательной к траектории

Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Если скорость по величине не изменяется, тангенциальное ускорение равно нулю. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Если направление скорости не изменяется, движение происходит по прямолинейной траектории.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Кинематика. 2.4

Ускорение материальной точки, движущейся по произвольной кривой, также будет зависеть от кривизны траектории, которая в разных точках будет различна. Модуль полного ускорения

Предположим, что материальная точка движется вокруг неподвижной в данной системе отсчета оси по окружности радиуса r.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Кинематика. 2.5

Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором dφ, модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью вращения, причем так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора dφ. Тогда элементарное перемещение материальной точки при таком повороте связано с углом поворота соотношением:

dr =r sin d

или в векторном виде:

dr d ,r

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Кинематика. 2.6

lim d

ω называется угловой скоростью тела. Вектор ω направлен вдоль оси, вокруг которой движется материальная точка, в сторону, определяемую правилом правого винта, и представляет собой

аксиальный вектор.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Кинематика. 2.7

при равномерном вращении ω показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. Равномерное вращение можно характеризовать периодом обращения Т, под которым понимают время, за которое тело делает один оборот, т.е. поворачивается на угол 2π. Поскольку промежутку времени Т соответствует угол поворота 2π,

2 T

откуда период Т равен:

T 2

Число оборотов в единицу времени ν, равно:

1

T 2

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Кинематика. 2.8

Из предыдущего соотношения следует, что угловая скорость равна 2π, умноженное на число оборотов в единицу времени

2

Вектор угловой скорости может изменяться, как по величине, так и по направлению. В первом случае изменяется значение вектора линейной скорости материальной точки, тогда как во втором случае изменяется ось вращения. Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуют величиной называемой угловым ускорением:

lim d

Направление вектора β совпадает с направлением dω – приращения вектора ω.