5. Теорема сложения вероятностей («или»)

если A1 и A2 несовместныесобытия, то . Если A1 и A2 — совместные события, то A1UA2 =(A1\ A2)UA2, причем очевидно,что A1\A2 и A2 — несовместные события. Отсюда следует: . Далее очевидно: A1 = (A1\ A2)U(A1∩A2), причем A1\ A2 и A1∩A2 - несовместныесобытия, откуда следует: P(A1) = P(A1\ A2) + P(A1∩A2) Найдем из этой формулывыражение для P(A1\ A2) и подставим его в правую часть формулы (*). В результатеполучим формулу сложения вероятностей: . Вероятность появления суммы событий равна сумме вероятности, сумме второй вероятности и разности произведения событий.

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Док-во: пусть в результате испытания из общего числа n равновозможных и несовместных исходов, соб-ю А благоприятствует m1 случаев, а соб-ю В – m2 случаев. Согласно классическому определению: Р(А)=m1\n, P(B)=m2\n. Т.к. соб-я несовместные, то соб-ю (А+В) соответсвуют (m1+m2) случаев. Следов-но: P(A+B) = (m1+m2)\n = m1\n + m2\n =P(A)+P(B). Следствие 1. Сумма вер-стей событий, образующих полную группу = 1. Следствие 2. Сумма вер-стей противоположных событий = 1. Т.к. противоположныесоб-я образуют полную группу. Замечание. Теор. сложения применима только для несовместных соб-й.

6. Условная вероятность, зависимость и независимость события. Умножение вероятностей («и»)

Условная вероятность события В (обознач. Р_А(В)) - вероятность соб. В, найденная при условии, что произошло соб. А. Р_А(В)=Р(АВ)\Р(А); аналогично для Р_В(А)=Р(АВ)\Р(В). Умножая правую и левую части этих равенств на Р(А) и Р(В) соответственно, получим Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В)=Р(В)*Р_В(А) – это теор. умножения вер-стей: вер-сть произведения двух событий = произведению вер-сти одного из них на условную вер-сть другого, найденную в предположении, что 1-ое соб-е произошло. Теорема обобщается на случай произвольного числа событий: Р(АВС…KL)=P(A)*P_A(B)*P_AB(C)…P_ABC…KL(L), т.е. вер-сть произведения нес.к событий = произведению вер-сти одного из этих событий на условные вер-сти других; причем условная вер-сть каждого последующего соб-я вычисляется в предположении, что все предыдущие соб-я произошли. Соб. В наз-сянезависимым от соб. А, если его вер-сть не меняется от того, произошло соб. А или нет, т.е. Р_А(В)=Р(В). В противном случае, соб. В называется зависимым от А. Если соб В не зависит от А, то и А не зависит от В, док-во: Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В)=Р(В)*Р_В(А); Р(А)*Р(В)=Р(В)*Р_В(А); сократим; Р(А)=Р_В(А), т.е А не зависит от В. Для независимых соб-й теор. умножения вер-стей примет вид: Р(АВC…KL)=Р(А)*Р(В)…P(L).Пусть если событие А и В при условии (P(A/B)) – условной вероятностью А, что В произошло – вероятность, вычисленную при условии, что В произошло. Вероятность совместного появления двух событий = произведению вероятности появления первого события на условную вероятность второго, или наоборот. P(AB) = P(A)*P(B)- безусловные, Aи B – независимы. P(AB) =P(A)(условные)*P(B/A)(условные)=P(A/B) – зависимы. События А и В независимы, если Р(А/B)=P(A);P(B/A)=P(B).