34. Понятие о збч. Сходимость по вер-сти и распределению
З-н больших чисел – раздел теор вер-сти, в кот изуч-ся факторы, влияющие на измерение чисел →∞. Это ряд строгих матем.теорем, каждая из которых при тех или иных условиях устанавливают факт приближения средних характеристик СВ к некоторым неопределенным постоянным. ЗБЧ(предельные теоремы): 1. Поведение средних характеристик СВ при многократном появлении опыта. 2. Теоремы, которые определяют характер СВ.
1. сходимость по вероятности: Последовательность СВ {хn(w)} сходится по вероятности СВ х(w) и обозначается lim хn(w)=х(w)
хn(w)→х(w). Если для любого Е> 0, limP((хn(w))<E)=1
2. сходимость по распределению: {хn(w)}, хn(w)→х сходится, если limFn(x)=f(x), где Fn – функция распределения СВ, х(w) – функция распределения СВ(Х).
35. Неравенство Маркова, Чебышева
Нер-во Маркова.
Если X≥0 и имеет мат ожидание, то для любого А>0 верно неравенство: Р(x>A)≤ M(X)\A. Док-во: Расположим дискретнсл вел Х в порядке возрастания. Пусть есть А>0, Xk<A<X(k+1). M(X)=p1x1+p2x2+…+pkxk+…+pnxn. Где р1, р2…рn – вер-сти, что Х примет значения соответственно х1, х2…хn. Отбрасим первые k неотрицательных слагаемых. P(k+1)*X(k+1)+PnXn<M(X). Заменим Xk+1…Xn меньшим числом А, вынесем за скобки: А(Pk+1+…+Pn)<M(X), разделим на А, а то что в скобках = Р(x>A). Получим нер-во Маркова.
Нер-во Чебышева.
Для любой случ вел, имеющей мат ожидание и дисперсию, справедливо нер-во Чебышева: P(|X-M(X)|>ε)≤D(X)\ ε^2, где ε>0.
36. Теорема Чебышева
Если дисперсии n независимых случ вел Х1, X2,..., Хn ограничены одной и той же постоянной, то при n→∞ средняя арифметическая случ вел-н сходится по вер-сти к средней
арифметической их мат ожиданий а1, а2,...,аn, т.е.:
37. Теорема Бернулли
Частостьсоб-я в n повторных независимых испытаниях, в каждом из котор оно может произойти с одной и той же вер-стьюр, при n→∞, сходится по вер-сти к вер-сти р этого соб-я в отдельном испытании: limP(|m\n-p|≤ε)=1. Смысл теор Бернулли - при большом числе n повторных независимых испытаний практически достоверно, что частостьсоб-я m\n — величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величр – вер-стисоб-я, т.е. практически перестает быть случайной.
P=m/n–классическая вероятность
P=limm/n– стат.вероятность
38. Центральная предельная теорема( Ляпунова)
Центральная предельная теор. представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный з-н р-я. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теор Ляпунова.
39. Генеральная совокупность, выборка. Способы организации выборки, требования к выборке
Ген. совокупность в мат.статистике – множество элементов любой природы, отобранных изучению по одному(нескольким) признакам.При втором способе мн-во случайным образом отобранных объектов наз.выб. сов-тью или выборкой. Всемн-во объектов, из которого производится выборка, наз. ген.сов-тью. Число объектов в выборке называется объемом выборки. Обычно будем считать, что объем генеральной совокупности бесконечен. Выборки разделяются на повторные с( возвращением) ибесповторные (без возвращения). Выборка должна достаточно полно отражать особенности всех объектов генеральной совокупности, иначе говоря, выборка должна быть репрезентативной (представительной).Способы организации: собственно-случайная: метод жеребьевки, механическая: когда невозможно заранее составить список единиц, типическая: разбивается на группы генеральной совокупности, серийная, комбинированная, многоступенчатая, многофазная.В практике статистических наблюдений различают 2 вида наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты совокупности, и несплошное, выборочное, когда изучается часть объектов. Вся подлежащая изучению совокупность объектов - ген.совокупность. Та часть объектов, которая отобрана для изучения из генеральной совокупности - выборка. Сущность выб.метода состоит в том, чтобы по выборке можно выносить суждение о свойствах в целом. Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о ген. совок-сти, она должна быть отобрана случайно. Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит ген. совок-сть. Задача выборочного метода является оценка параметров ген совок-сти по данным выборки.