6. Предельные точки и точки сопр

Определение. Точка x—предельная точка E, если

Лемма. Точка x—предельная точка — бесконечное множество.

Рассмотрим множество .Любая точка называется точкой прикосновения множества . Значит множество ─ замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои точки прикосновения. Т.е. .

Теорема (о характеризации точек прикосновения).

Для того, чтобы точка была точкой прикосновения множества , необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность точек из множества , т.е. .

7.Замкнутые мнва

Замкнутым называется множество, содержащее все свои предельные точки (т. е. такие, что любой интервал, содержащий эту точку, пересекается со множеством ещё хотя бы по одной точке). Например, отрезок является замкнутым множеством, но не является открытым, а интервал, наоборот, является открытым множеством.

Пусть . Рассмотрим дополнение множества , которое обозначается .

Рассмотрим внутренность множества : . Эта внутренность дополнения множества .

называется внешностью множества .

Множество всех граничных точек множества   называется границей и обозначается 

8.Непрерывные отображения. Критерий

Определение. Отображение называется непрерывным в точке , если

Шар для , шар для .

Определение можно переписать следующим образом:

Теорема (Критерий непрерывности отображения). 

Отображение F:X→Y непрерывно если и только если для любого открытого множества U⊂τ₂ пространства Y его прообраз V = F^-1(U) принадлежит τ₁, то есть является открытым множеством топологического пространства X.

9 Теорема (о непрерывности композиции).

Пусть непрерывные отображения , , где – метрические пространства. Тогда композиция отображений (которая определяется следующим образом ) является непрерывным отображением .

(Кратко: композиция непрерывных отображений является непрерывным отображением).

Доказательство.

Возьмем произвольное

и пусть последовательность , тогда, применяя теорему об эквивалентных условиях непрерывности, получаем . Еще раз применяя эту теорему, получаем, что . Это значит, что (3)

И снова применяя предыдущую теорему, получаем, что непрерывно в , т.е. композиция непрерывна в точке . А т.к. точка была выбрана произвольно из множества , то отображение является непрерывным.

10 Теорема (о единственности неподвижной точки у сжимающего отображения).

Пусть - сжимающее отображение, , тогда в отображении не может быть более одной неподвижной точки.

Доказательство.

Пусть существует хотя бы две неподвижные точки у отображения .

Если ,

тогда

Следовательно, (2)

Т.к. , то .

Неравенство (2) сокращаем на и получаем, , что противоречит .

Определение. Отображение с метрикой называется сжимающим отображением (отображением сжатия), если существует число , что расстояние между образами точек удовлетворяет неравенству:

11 Теорема (принцип неподвижной точки).

Пусть – сжимающее отображение полного метрического пространства , тогда существует единственная неподвижная точка у отображения .

Доказательство.

Возьмем произвольную точку и построим точку . По точке строим точку

Получили последовательность .

Докажем, что эта последовательность фундаментальна.

Возьмем числа ,будем считать, что , тогда запишем .

Рассмотрим расстояние

, т.к. отображение сжимающее, то , значит

Таким образом, доказали неравенство

(3)

Рассмотрим и применим неравенство треугольника:

Таким образом, доказали неравенство:

(4)

Из (3) и (4) получаем

(5)

Рассмотрим правую часть (5). Так как , то , следовательно, вся правая часть .

Это значит, что

(6)

Т.к. , то соотношение (6) верно и для .

Таким образом, получаем:

А эта формула означает, что последовательность является фундаментальной последовательностью в метрическом пространстве . В силу условия теоремы о том, что метрическое пространство полное, получаем, что последовательность является сходящейся последовательностью, т.е. существует такой элемент .

Рассмотрим равенство

, которое верно для (7)

Исследуем левую часть (7): , исследуем правую часть (7): . Т.к. отображение по условию теоремы сжимающее, то оно непрерывно и, следовательно, применяя теорему об эквивалентном условии непрерывности, получаем .

Переходя в общих частях равенства (6) к пределу при , получаем в пределе , т.е. - неподвижная точка отображение .

Таким образом, доказали, конструктивно построив, существование неподвижной точки. Единственность неподвижной точки следует из доказанной выше теоремы.