Компактность оператора Фредгольма.

K(t,s) – непрер.

Покажем, что - компакт. Т.к. ядро непрер-но, то оно 1)ограничено, т.е. 2) равностепенно непрер-но, т.е. (1) Пусть М – произв-е огр-е в мн-во, т.е. . Покажем, что мн-во AM={Ax(t)} – предк-но в . покажем, что мн-во {Ax(t)}, . 1) Равномерно огран-но: =>равн.огр. 2) , , , по Th. Арцелла мн-во АМ – предк-но.

М. показать, что . Пусть M={x(t)} – огр. в , . АМ – предкомп. в 1) 2)Покажем, что мн-во {Ax(t)}, равност непр. . Т.о. и в силу Арцелла мн-во предк-но. Покажем, что из предк-ти в след-т предк-ть в . Пусть {y_n(t)} – произв-я посл. из . Из сх-ти в => сх-ть в , т.е. . Мн-во {Ax(t)}, предк-но в . Из люб. посл-ти м. выделить сх-ся в подп-ть . Тогда сх-cя в . Т.е. оператор АМ – предкомпактен.

Собственные операторы, собственные векторы компактных операторов.

Пусть комп. оп-р . Пусть - соб. зн-е оп. А. Рассм. мн-во всех соб. век-в, собственное подпр-во. Д-во: , -ЛМ. Если . -замкнуто. Пусть x₀ – произв. пред. т. . -собств. подпр-во.

Теорема. Собственное подпр-во компактного оператора, отвечающие ненулевому собственному знач-ю конечномерно. Д-во: . Заменим . Пусть АМ – предк-но. - предк-но. - предкомп-но, а это возможно только в конечномер. пр-ве, т.е. конечно, т.е. отвечает конеч. число. ЧТД.

Теорема. Пусть . Тогда вне круга м. содержаться лишь конечное число собств-х значений оператора А. Д-во: Х=Н ПП. - собств. знач-я оп. А

Собств. вект., отвеч. различ. собств. зн-м ортогональны, т.е. - собст. вект. ортогональна предкомп. нельзя выделить сх. (ф.п.) посл-ть. ЧТД.

Следствие. Если А комп. самосопр-й оп-р имеет бескон-е число собств-х знач-й, то .

Теорема Гильберта – Шмидта. Пусть А – комп-й самосопр-й оп-р в ГП Н, - его соб. знач-я и соответсвующие им соб. векторы. Тогда эл. Ах разлагается в сх-ся ряд Фурье. (1) (без д-ва) Следствие. Пусть А- компакт. самосопр-й оп-р в Н и сущ-т обратный , тогда собств. векторы А образуют базис в Н. Д-во: Т.к. оп-р А обратим, то он взаимооднозначн-й и . Р-во (1) м. записать в виде . Оп-р А м. вынести за сумму, т.к. он лин. ограничен, а => непрерывный. т.к. kerA={0} . ЧТД.

Уравнения с компактными операторами.

Пусть А – комп. оп-р в Н. Ур-е x=Ax=f(1) н-ся Ур-м 2го рода. Рассм. однородное Ур-е x-Ax=0(2). Т.к. A*(сопр-й) к компактному оп-у явл-ся комп. оп-ом, то ур-е (1*) и однор-е ур-е (2*) тоже ур-я 2го рода. Если А матрица порядка , то известно, что неоднор-я система (1) и (1*) разрешимы т.и.т.т.,к. ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Если эти ранги = n, то однородные системы (2) и (2*) им. только 0е реш-е. Если , то однор-е системы (2) и (2*) имеют по r линейно независ-х реш-й, а неоднор-е системы (1) и (1*) неоднозначно разрешимы (неразрешимы). Похожая ситуация имеет место и для комп-х оп-ов 2го рода.

Первая теорема Фредгольма. Пусть А – компакт. оп-р в Н, тогда след-е утв-я эквив-ны: 1. Ур-е (1) им. реш-е при . 2. Ур-е (1*) им. реш. при . 3. Однор-ое ур-е (2) им. только 0е реш-е. 4. Ур-е (2*) им. только 0е реш-е.

Вторая теорема Фредгольма. Пусть А – комп. оп-р в Н, тогда однор-е ур-я (2) и (2*) имеют один-е кон. число линейно незав-х реш-й.

Третья теорема Фредгольма. Пусть А – ком. оп. В Н, для того, чтобы ур-е (1) имело хотя бы 1о реш-е н.и.д.,ч. f была ортогональна любому реш-ю однородного, сопряденного ур-я (2*), т.е.