Критерий предкомпактности в .

Пусть - семейство функций. Семейство ф-ций К н-ся равномерно ограниченным, если . Это означает, что .Равн. огр-ть тому,что множ . !Равн. огран-ть семейства ф-ций огран-ти этого мн-ва в .

Семейство ф-ций равностепенно непрерывно, если

Теорема Арцела. Для того, чтобы мн-во было предкомпактным н. и д., чтобы оно было: 1)Равномерно ограничено; 2)Равностепенно непрерывно. Док-во: Необх-ть: Дано -предк огранич., т.е. семейство -равномерно ограничено. Покажем, что семейство равностепенно непрерывно: По критерию Хаусдорфа для конечная - сеть , т.е. (1). Т.к. -непр-на на , то по теореме Кантора она равномерно непр-на на , т.е. из нер-ва (2). Возьмём . Пусть , тогда . Достат-ть: Покажем, что мн-во К-предкомпактно. Покажем, что можно построить конечную -сеть для К. Т.к. мн-во К равномерно ограничено, то . Т.к. семейство К равностепенно непрерывно, то Разобьём отрезок [-R,R] на конечное число частей, длина каждой . . И через точки деления проводим горизонтальные прямые. Отрезок [a,b] разобьём на части, длиной . . Проведём через точки вертик. прямые. Каждой функции x(t) поставим в соотв-е ломаную с вершинами в узлах и уклоняющуюся от x(t) в точках t_i , т.е. Т. к. -линейная ф-я, то верно: . Покажем, что ломаная образует -сеть дляК: . . Ломаных было конечное число. По теореме Хаусдорфа семейство (множество) К - предкомпактно в . ЧТД.

Компактные операторы.

-БП. -линейный. Линейный огранич-й оператор н-ся компактным (вполне непрерывным), если он любое огранич. мн-во переводит в предкомпактное.

Любой оператор, действующий в конечномерном пространстве является компактным т.к. ограниченное мн-во AM в конечномерном пр-ве предкомпактно. В бесконечномерном пр-ве не любой огранич. оператор явл. Компактным.

Теорема: Пусть A и B– компактные операторы Тогда -компактный опер-р. Док-во: Пусть M – произвольное ограниченное мн-во в X. Покажем, что - предкомп. в Y, т.е. можно выделить сходящуюся подпоследовательность (ф.п.) . Т.к. A – компактный оператор то - ф.п. Т.к. B – компакт., то из последовательности можно выделить -ф.п. то -ф.п.Получим линейное многообразие. ЧТД.

Теорема: Пусть - компактный оператор и . Тогда A – компактный. Док-во: Пусть M – любое ограниченное мн-во в X. Покажем, что мн-во AM – предкомпактно в Y. Воспользуемся критерием Хаусдорфа(следствие) и покажем, что для AM можно построить предкомпактную -сеть.Положим . Тогда т.к. M – ограничено, т.е. и . Т.к. , то Тогда . Получим, что . Т.е. образует -сеть предкомпактную для M т.к. - компактный оператор. ЧТД.

Мн-во компактных операторов явл-ся замкнутым линейным многообразием и значит образует подпространство .

Непрерывный образ.

Теорема: Непрерывный образ предкомпактного (компактного) мн-ва явл-ся предкомпактным (компактным). Док-во: - предк.; - непр.; -предк. в ?: -ф.п.? Т.к. -предкомп., то (т.к. - непр.). Это значит, что -предкомпактное множество. Пусть - компактное, тогда - компактное. ЧТД.

Компактность в конечномерных пр-вах.

Теорема: Если X или Y- конечномерны, то Любой линейный оператор - огранич. является компактным. Док-во: Пусть 1) , тогда M-огранич. в X мн-во, тогда M- предкомпактно, тогда AM- предкомпактно как непрерывный образ предкомпактного мн-ва, т.е. A- компактный опер. . 2) , и - огранич. мн-во. .AM- огранич. и предк. в Y. . Т.к. компакт. опер-р – лин. огран., то . ЧТД.

Следствие 1: Пусть - оператор ортогонального проектирования, тогда P- компактен тогда и только тогда, когда .

Теорема: Если A–компактный оператор,а -линейный ограниченный, то операторы и - компактны. Док-во: AM-предкомп. BAM-предкомп. как непр. образ предк. мн-ва. ЧТД.

Следствие: В бесконечномерном пр-ве компактный оператор не может иметь ограниченного обратного, т.е. . Док-во: Предположим противное -огр. Тогда - компактный. . Такой оператор дожжен быть компактным, а в бесконечномерном пр-ве это не так ограниченного обратного нет. ЧТД.

Теорема Шаудера: Оператор, сопряжённый к компактному компактен. Док-во: - ГП и компактно - комп.?: -комп.; и подпосл. - ф.п. - комп. - предк.? Можно выделить ф.п.; - ф.п.?

. - ф.п. - ф.п. -компактный. ЧТД.