4. Свойства умножения и деления

Умножение:

• коммутативность (переместительное свойство): 2*3=3*2 . От перестановки множителей значение произведения не изменяется.

• ассоциативность (сочетательное свойство): (2*3)*5=2*(3*5). Произведение двух соседних множителей можно заменить его значением.

• распределительное свойство: рассматриваются два правила:

а) умножение суммы на число: (2+3)*5=2*5+3*5 при умножении суммы на число можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.

б) умножение числа на сумму: 73*(20+8)=73*20+73*8

• а*1=а, а*0=0 . Принимаются без пояснений. Учащимся сообщается, что так принято в математике.

• 1*а=а, 0*а=0. Эти правила выводятся методом неполной индукции:

1*2=1+1=2

1*3=1+1+1=3

1*4=1+1+1+1=4

…

1*98=98

1*а=а.

Деление:

• деление суммы на число: (6+9):3=6:3+9:3

• а:1=а, 0:а=0 (на основе взаимосвязи с умножением)

• невозможность деления на 0: 8 нельзя разделить на 0, т.к. нельзя подобрать такое число, которое при умножении на 0 дает 8.

Порядок выполнения действий в выражениях:

1. В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

2. В выражениях без скобок сначала выполняются по порядку слева направо умножение и деление, а потом сложение или вычитание.

3. В выражениях со скобками сначала вычисляют значение выражений в скобках. Затем по порядку слева направо выполняются умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

4. Табличные случаи умножения и деления

5.1. Приемы, используемые при составлении таблицы умножения

Центральной задачей темы "Умножение и деление" является формирование навыков табличного умножения и деления. Знание табличных случаев должно быть доведено до автоматизма, т.к. только в этом случае учащиеся смогут успешно справиться с устными вычислениями при умножении и делении двузначного числа на однозначное, при делении двузначного числа на двузначное, а также с письменными случаями умножения и деления. Но это не значит, что дети должны механически зубрить готовые таблицы. Речь идет о формировании сознательных навыков, основанных на следующих приемах, используемых при составлении таблицы умножения:

• прием, в основе которого лежит определение умножения:

а) Чтобы найти произведение 8*2, заменим его суммой одинаковых слагаемых 8*2=8+8. Т.к. 8+8=16, то 8*2=16.

б) Вычислим произведение 6*9. Легко запомнить, что 6*8=48, тогда 6*9=6*8+6=48+6=54.

в) Вычислим произведение 6*9. Легко запомнить, что 6*10=60, тогда 6*9=6*10-6=

=60-6=54.

• прием, в основе которого лежит переместительное свойство умножения:

Найдем значение произведения 8*6. Легко запомнить 6*8=48. Значит 8*6=48.

• прием, в основе которого лежит распределительное свойство умножения:

Найдем значение произведения 8*7. Легко запомнить, что 8*5=40 и 8*2=16. Тогда 8*7=8*5+8*2=40+16=56.

• прием, в основе которого лежит сочетательное свойство умножения

Найдем произведение 9*4. Легко запомнить, что 9*2=18. Тогда 9*4=(9*(2*2))=((9*2)*2)=18*2=18+18=36.

Для того, чтобы ученик мог воспользоваться указанными приемами при усвоении таблицы умножения, необходимо, чтобы он:

1. владел рациональными приемами сложения и вычитания двузначных чисел;

2. осознанно усвоил конкретный смысл умножения;

3. осознанно усвоил свойства умножения.