Глава 3.Емкость. Примеры расчета емкостей

Пусть имеется тело, носящее на себе заряд q (рис. 3.1). Известно, что в этом случае поверхность тела обладает некоторым потенциалом, величина которого пропорциональна заряду q. Мерой

пропорциональности между зарядом q и потенциалом Рис. 3.1

данного тела служит емкость

.

На практике часто имеем дело с системой заряженных тел, находящихся в диэлектрике. Система из двух проводящих тел, разделенных диэлектриком и имеющих равные по величине и противоположные по знаку заряды, носит название конденсатора.

Если в этом случае q, и  — соответственно заряд и потенциалы пластин, то под емкостью конденсатора понимается величина

, .

Поскольку 1 фарад — очень большая величина, то на практике пользуются ее долями:

микрофарад [ ],

нанофарад [ ],

пикофарад [ ] и пр

Емкость С не зависит ни от , ни от q, поскольку напряжение в электростатическом поле может быть выражено через q линейно. Она зависит лишь от геометрических размеров обкладок, их взаимного расположения и от характеристики диэлектрической среды, заполняющей пространство конденсатора.

3.1. Емкость плоского конденсатора

Дано: , d, и площадь пластин S.

Определить емкость конденсатора С (рис. 3.2).

Р

ешение. Зарядимся зарядом на пластинах конденсатора. Считаем, что размеры пластин намного превышают d, поэтому пренебрегаем краевым эффектом и считаем поле равномерным.

Рис. 3.2

Алгоритм расчета емкости:

.

Из теоремы Гаусса ( ) напряженность электрического поля

или .

Напряжение между пластинами

.

Емкость однослойного плоского конденсатора

; .

3.2. Емкость двухслойного плоского конденсатора

Дано: , , , , S.

Определить емкость конденсатора (рис. 3.3).

Решение. Зададимся зарядом . Исходя

и

з теоремы Гаусса

; ,

напряжение между пластинами Рис. 3.4

.

Отсюда ,

емкость .

Этот же результат можно получить иначе.

Вместо границы раздела двух диэлектриков поместим тонкий слой проводящей среды. Картина поля не изменится (так как поместили эквипотенциальную поверхность на место эквипотенциали). Теперь всю систему можно рассматривать как последовательное соединение двух плоских конденсаторов, при

котором , где ; .

После преобразования получим

3.3. ЕМКОСТЬ ОДНОСЛОЙНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО

КОНДЕНСАТОРА (КОАКСИАЛЬНЫЙ КАБЕЛЬ)

Д ано: , , (рис. 3.5).

Определить: удельную емкость (емкость на единицу длины).

Решение. Пусть линейная плотность заряда , тогда емкость на единицу длины кабеля

,

Рис. 3.5

где l – длина конденсатора;  - линейная плотность заряда.

Из теоремы Гаусса

.

Напряжение между обкладками

;

38

.

3.4. ЕМКОСТЬ ДВУХСЛОЙНОГО

ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КОНДЕНСАТОРА

Дано: , , , , (рис. 3.6).

Определить: .

Решение. По аналогии с предыдущим случаем:

;

; ; Рис. 3.6

;

.

3.5. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДВУХ ЗАРЯЖЕННЫХ ОСЕЙ

Рассмотрим картину поля, создаваемую двумя разноименно заряженными с линейной плотностью бесконечно протяженными нитями (осями) (рис. 3.7).

Рис. 3.7

По принципу наложения найдем напряженность электрического поля произвольной точки M:

,

где по теореме Гаусса

; .

Также определим потенциал точки М:

.

Для плоскости YOZ принимаем . Так как в этом случае , то

, откуда ;

.

Теперь найдем уравнения эквипотенциальных линий:

;

; ;

;

;

;

;

.

39

Выделим полный квадрат, добавляя и вычитая :

;

 — уравнение окружности с центром

(3.1)

и радиусом . (3.2)

Из формул (3.1) и (3.2) имеем:

Проверка:

.

Основываясь на данных соотношениях, можно рассчитать и построить картины полей двухпроводной линии, несоосных цилиндров, а также определить их емкости.