
- •Теоретические основы электротехники Электромагнитное поле
- •Рецензенты:
- •Учебное издание
- •Теоретические основы электротехники Электромагнитное поле
- •428015 Чебоксары, Московский просп., 15 Введение
- •Глава 1. Общие сведения
- •Основные векторы электромагнитного поля и макроскопические параметры
- •Вектор напряженности электрического поля .
- •2. Вектор электрического смещения .
- •4. Вектор электрической поляризации .
- •5. Вектор намагниченности .
- •6. Вектор магнитной индукции .
- •1.2. Система уравнений максвелла для электромагнитного поля
- •Первое уравнение максвелла
- •Физический смысл первого уравнения Максвелла.
- •Непрерывность токов проводимости и токов смещения
- •Второе уравнение максвелла
- •Третье уравнение максвелла
- •Четвертое уравнение максвелла
- •Полная система уравнений максвелла
- •Теорема о единственности решений системы уравнений максвелла
- •Глава 2. Электростатическое поле
- •2.1 Основные понятия и определения
- •Напряжение, потенциал и разность потенциалов в электростатическом поле
- •2.2 Теорема гаусса в интегральной форме при расчете электростатических полей
- •2.3. Уравнения пуассона и лапласа
- •Проводники в электростатическом поле
- •2.4. Граничные условия в электростатическом поле
- •2.5. Задачи электростатики
- •2.6 Метод зеркальных изображений при решении задач электростатики
- •Глава 3.Емкость. Примеры расчета емкостей
- •3.1. Емкость плоского конденсатора
- •3.2. Емкость двухслойного плоского конденсатора
- •3.6. Поле и емкость двухпроводной линии
- •3.7. Емкость системы несоосных проводов
- •3.8. Емкость системы «провод-земля»
- •3.9. Поле двух заряженных проводов, находящихся над поверхностью земли
- •Глава 4. Энергия и силы электростатического поля
- •4.1. Энергия взаимодействия точечных зарядов
- •4.2. Энергия электростатического поля
- •4.3. Силы, действующие в электрическом поле
- •Глава 5.Электрическое поле постоянного тока в проводящей среде
- •5.1. Основные законы
- •Закон ома в дифференциальной форме
- •Первый закон кирхгофа в диффеннциальной форме
- •Рассмотрим иной вариант доказательства.
- •Закон джоуля-ленца в дифференциальной форме
- •5.2. Поле полусферического электрода
- •5.3.Граничные условия в электростационарном поле
- •5.4. Аналогия между электрическим полем постоянного тока и электростатическим полем
- •Глава 6.Магнитное поле, постоянное во времени.
- •6.1. Основные понятия и законы
- •Вектор напряженности магнитного поля
- •З аконы ампера и био — савара
- •Магнитный поток и его непрерывность
- •Закон полного тока для стационарного магнитного поля
- •6.2. Граничные условия в магнитном поле
- •Закон преломления вектора
- •6.3 Векторный потенциал магнитного поля
- •6.4. Скалярный магнитный потенциал
- •6.5. Аналогия между магнитным полем постоянного тока и полем электростатики
- •Связь между магнитным потоком и векторным потенциалом
- •6.6.Энергия и силы магнитного поля.
- •6.7. Индуктивность
- •6.8. Взаимоиндуктивность
- •6.9. Методы расчета магнитных полей
- •Метод зеркальных изображений для расчета магнитного поля
- •7.1. Полный электрический ток и его непрерывность
- •Непрерывность полного тока
- •7.2. Уравнения максвелла в комплексной форме
- •7.3.Теорема умова — пойнтинга
- •- Теорема Умова — Пойнтинга.
- •7.4. Теорема умова — пойнтинга в комплексной форме
- •Глава 8. Плоские электромагнитные волны
- •8.1. Уравнения плоской волны
- •8.2. Свойства плоских волн
- •Выводы:
- •8.3. Распространение плоской электромагнитной волныв проводящей среде
- •8.4. Поверхностный эффект
- •8.5. Экранирование в переменном электромагнитном поле
- •8.6. Распространение плоской электромагнитной волны в идеальном диэлектрике
- •Глава 9. Векторы и потенциалы переменного электромагнитного поля
- •9.1. Уравнения для векторов переменного эмп
- •9.2. Потенциалы переменного эмп
- •9.3. Уравнения для электродинамического потенциала
- •9.4. Запаздывающие и опережающие потенциалы переменного электромагнитного поля.
- •Комплексная форма записи запаздывающего потенциала
- •Понятие о квазистационарном и квазистатическом полях
- •Список рекомендуемой литературы Основная
- •Дополнительная
- •Оглавление
- •Глава 1. Общие сведения 6
- •Глава 2. Электростатическое поле 18
- •Глава 3. Емкость. Примеры расчета емкостей 35
2.5. Задачи электростатики
В зависимости от конкретных условий задачи электростатики можно условно разделить на три типа.
Задачи первого типа. Задан закон распределения потенциала в пространстве и нужно найти закон распределения свободных зарядов. Это наиболее простой тип задач и решаются они с помощью уравнений Пуассона (Лапласа).
Пример. В некоторой области пространства потенциал поля зависит только от одной координаты x декартовой системы:
.
Найти закон изменения плотности свободных зарядов в этом поле.
Решение. Запишем уравнение Пуассона
или
.
Поскольку
,
то
.
Дважды дифференцируя
по
,
получим
.
Значит,
.
Задачи второго
типа. Задан закон распределения
свободных зарядов
.
Найти закон изменения потенциала в
пространстве
.
Эти задачи обратны по отношению к предыдущим. Здесь нужно интегрировать функцию потенциала.
Пример. В пространстве между обкладками плоского
конденсатора
(рис. 2.12) распределен объемный заряд
с плотностью
,
где
.
Требуется определить закон изменения потенциала в пространстве между электродами .
Полагаем, что размеры электродов намного больше расстояния между ними (для того, чтобы не учитывать краевые эффекты).
Поскольку по осям
y и z изменения Рис. 2.12
заряда нет, то нет изменения потенциала по этим осям.
Следовательно,
.
Дважды проинтегрировав, получим
;
.
Постоянные интегрирования определяем из граничных условий.
При х=0:
,
отсюда
.
При х=2 см:
;
;
отсюда
.
Таким образом,
.
Задачи третьего типа. Известны потенциалы (или полные заряды) и геометрия тел, создающих поле. Требуется определить закон изменения напряженности или потенциала в пространстве.
П
32
ример. Две металлические пластинки бесконечной протяженности находятся в воздухе, образуя, не соприкасаясь, двугранный угол
В

Определить поверхностный заряд.
Считаем, что
,
тогда
.
Рис. 2.13
Задачу проще решать в цилиндрической системе координат. Поскольку в пространстве, ограниченном гранями угла , нет зарядов, то нужно воспользоваться уравнением Лапласа (в цилиндрической системе координат)
.
Благодаря симметрии потенциал не зависит от высоты (координаты z) и радиуса,
поэтому
,
тогда
.
По условию, при
:
;
при
:
,
;
.
Таким образом,
,
то есть не зависит от r
и z.
Известно,
что
.
П
16
оскольку потенциал зависит только от


,
поэтому напряженность имеет слагаемую только по координате :
.
Из граничных условий («проводник – диэлектрик») имеем
,
.
2.6 Метод зеркальных изображений при решении задач электростатики
Если электрические заряды расположены вблизи границы двух разнородных сред, то расчет поля можно вести, применив искусственный метод, который носит название метода зеркальных изображений.
Идея метода заключается в том, что вместо полупространств неоднородной среды (рис. 2.14) рассматривается полностью однородная среда, влияние же неоднородности на границе раздела сред учитывается введением фиктивных зарядов (рис. 2.15) с учетом граничных условий.
Пример. Заряд q расположен в диэлектрике с проницаемостью на расстоянии h от проводящей плоскости.
Рис. 2.14 Рис. 2.15
Заряд
определяется из граничных условий. Как
видно из рис. 2.15, в области 1 заряд и
среда такие же, как в основной задаче.
Если сейчас во второй задаче граничные
условия будут выдержаны, то векторы
поля в области 1 для обеих задач будут
одинаковы.
На плоскости xoy (рис. 2.16) напряженность поля двух точечных зарядов определяется по формуле
.
На границе раздела
«проводник – диэлектрик» касательная
составляющая
,
поэтому
.
А так как
,
то отсюда
.
Для того чтобы рассчитать поле точечного заряда, расположенного над проводящей средой, фиктивный заряд надо выбирать равным по величине и противоположным по знаку.
Рис. 2.16
Найдем плотность
индуцированных на поверхности зарядов,
исходя из
;
На границе раздела «проводник – диэлектрик»:
А
14
налогично рассчитывается поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей поверхности, например, земли.