Четвертое уравнение максвелла

Это уравнение отражает принцип непрерывности магнитных силовых линий. В интегральной форме условие непрерывности линий вектора магнитной индукции записывается в виде

. (1.7)

Применив его к элементарному объему V и перейдя к пределу, получим в дифференциальной форме:

. (1.8)

Физический смысл уравнения (1.8) в том, что отсутствуют истоки вектора магнитной индукции, то есть в природе не существует магнитных зарядов. Силовые линии вектора непрерывны, они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность.

Отметим, что интегральная и дифференциальная формы записи уравнений ЭМП (табл. 1.1) дополняют друг друга и позволяют выполнять расчеты полей любой сложности. Различие в том, что интегральная форма описывает соотношения между основными векторами ЭМП в конечной области, а дифференциальная форма выражает характер их изменения непосредственно в каждой точке, для которой она записана.

Таблица 1.1

Интегральная форма	Дифференциальная форма

Полная система уравнений максвелла

Эта система уравнений, кроме рассмотренных четырех уравнений, включает также попарные соотношения между и , и , и . Дополнительно следует учитывать граничные у

32

словия на плоскости раздела разных сред. Это обусловлено тем, что электротехнические устройства состоят из различных материальных сред (проводники, диэлектрики и т.п.), в связи с чем ЭМП приходится рассчитывать в кусочно-неоднородной среде.

Пока без доказательств приведем следующие граничные условия для двух сред 1 и 2:

; ; ; ,

где  —- тангенциальные, n – нормальные составляющие.

Итак, полная система уравнений Максвелла представлена в табл. 1.2:

Таблица 1.2

Основные уравнения	Дополнительные уравнения
; ; ; .	; ;  - закон Ома в дифференциальной форме,

где  — вектор плотности токов проводимости [А/м²];

 — удельная электрическая проводимость среды [См/м];

 — вектор напряженности, вызванной электрическими силами;

 — вектор напряженности, вызванной сторонними (неэлектрическими) силами.

Как указывалось, приведенная система дополняется граничными условиями.

Теорема о единственности решений системы уравнений максвелла

Электромагнитное поле в любой момент времени в любой точке объема, ограниченного замкнутой поверхностью, однозначно определяется уравнениями Максвелла, если для начального момента времени известны напряженности электрического и магнитного полей в любой точке этого объема, а также заданы тангенциальные составляющие напряженности электрического и магнитного полей в каждой точке поверхности, ограничивающей данный объем, начиная с момента времени до любого момента .

Глава 2. Электростатическое поле

2.1 Основные понятия и определения

Электрические и магнитные поля неразрывно связаны друг с другом, но часто при расчете полей удобно рассматривать эти стороны единого явления отдельно. Будем различать электростатику и магнитостатику. Вначале рассмотрим электростатические поля.

Источником электростатического поля являются «неподвижные» во времени и пространстве заряды.

Процессы, происходящие в этом поле, не зависят от времени, а следовательно все .

Тогда система уравнений Максвелла для электростатики примет вид

; (2.1)

; (2.2)

.

В интегральной форме выражению (2.1) соответствует уравнение

. (2.3)

Выражения (2.1) и (2.3) имеют тот смысл, что поле электростатики является безвихревым (силовые линии имеют начало и конец).

 — работа, совершаемая силами поля по перемещению единичного заряда из одной точки в другую.

Смысл уравнения (2.3) еще и в том, что работа сил поля по замкнутому контуру равна нулю (рис. 2.1). Это есть признак потенциальности поля.

Из выражения (2.3) также следует, что работа, совершаемая силами поля, не зависит от формы пути.

;

;

Доказанное равенство является достаточным Рис. 2.1 и необходимым условием того, что электростатическое поле потенциальное и безвихревое: циркуляция и .