6.7. Индуктивность

Индуктивностью проводника с током называется величина

, где - ток; - потокосцепление.

П отокосцепление — это произведение потока на число , указывающее, сколько раз поток сцеплен с током, его вызвавшим.

Например, для катушки, приведенной на рис. 6.26,

87

,

г

Рис. 6.26

де и совпадает с числом витков катушки.

Индуктивность зависит от магнитной проницаемости и геометрических размеров проводника и измеряется в генри (Гн).

Пример 1. Определить внутреннюю и внешнюю индуктивности цилиндрического проводника с радиусом а и длиной l (рис. 6.27).

Выберем площадку dS на радиусе r. Поток через эту площадку

.

В еличину определим из закона полного тока:

,

где  — полный ток, заключенный в цилиндре радиуса r.

При поток сцепляется со всем током I один раз, т. е.

Рис. 6.27 , а при поток сцепляется лишь с частью тока , равной

,

что значит .

Приращение , а потокосцепление

.

При .

При .

Внутренняя индуктивность

.

Как видно, внутренняя индуктивность не зависит от радиуса провода.

Внешняя индуктивность:

.

Внешний поток сцепляется с током I один раз (рис. 6.28), поэтому .

Рис. 6.28

; ;

.

При .

Значит, внешняя индуктивность уединенного провода равна .

Пример 2. Определить индуктивность двухпроводной линии (рис. 6.29). Расстояние между осями d, радиусы проводов a.

Рис. 6.29

Магнитный поток, сцепленный с линией, состоит из трех потоков:

.

Магнитную индукцию найдем как сумму индукций отдельных проводов по методу наложения. Первый и третий потоки — внутренние, а второй — внешний.

Внутреннее потокосцепление: . Суммарное внутреннее потокосцепление:

.

Найдем внешнее потокосцепление. По закону полного тока —  — найдем напряженность поля одного тока (провода):

, где .

Поток одного провода:

.

Поскольку , то

.

Индуктивность .

6.8. Взаимоиндуктивность

Для характеристики степени магнитной связи контуров вводится понятие взаимоиндуктивности. Взаимоиндуктивностью называется величина, равная или ,

где  — потокосцепление потока , вызванного током с контуром 2(1) (рис. 6.30).

.

Рис. 6.30

.

В случае двух индуктивно связанных цепей с токами и энергия магнитного поля:

,

где  — потокосцепления взаимной индукции, обусловленные соответственно токами и :

,

.

Для определения можно воспользоваться (векторным потенциалом магнитного поля) (рис. 6.31).

через контур : .

О

тсюда ,

г

Рис. 6.31

де .

Итак: .

П ример 1. Рассчитать взаимную индуктивность между проводом и рамкой (рис. 6.32).

Провод и рамка находятся в одной плоскости.

; ;

;

91

Рис. 6.32

;

;

.

П ример 2. Определить взаимную индуктивность между двумя слоями обмотки катушки длиной l и радиусом R (lR), если число витков первого слоя равно w₁, а второго слоя — w₂ (рис. 6.33).

Будем считать катушку с двухслойной обмоткой соленоидом.

Т

Рис. 6.33

огда магнитное поле внутри катушки будет практически однородным.

Воспользуемся алгоритмом определения взаимной индуктивности.

1. Используя закон полного тока, найдем значение магнитной индукции В₁, создаваемой током I в слое с числом витков w_1. В центре на оси катушки имеем .

2. Найдем площадку S₂, через которую замыкается поток магнитной индукции. Эта площадка ограничена витками второго слоя. Считая толщину слоев обмотки намного меньше радиуса катушки, получим .

3. Рассчитаем поток вектора магнитной индукции сквозь выбранную площадку S₂ .

4. Найдем потокосцепление второго слоя с числом витков w₂

.

5. Определим взаимную индуктивность .

Результат получится аналогичным, если предположить, что ток I протекает по слою с числом витков w₂ и определить М₂₁.

Пример 3. Взаимная индуктивность двух линий длиной l (рис. 6.34).

П ровода параллельны :

.

Если диаметры проводов второй линии очень малы, то

,

г

Рис. 6.34

де  — магнитный поток от тока провода 1,

 — магнитный поток от тока провода .

Если провести радиальную полуплоскость, то она будет перпендикулярна линиям магнитной индукции.

На расстоянии r от оси провода 1:

;

.

Аналогично для провода с током :

;

93

;

.

Тот же результат можно получить, если задаться током тонких проводов второй линии и искать .

Полученный результат не изменится, если тонкие провода заменить реальными, так как М не зависит от диаметра проводов, а также от их сечения (сплошные или трубчатые).