Магнитный поток и его непрерывность
Поток
вектора магнитной индукции
называют магнитным потоком. Он измеряется
в веберах (Вб). Опытами установлено, что
магнитный поток сквозь замкнутую
поверхность S:
.
Пользуясь теоремой Остроградского, можно записать:
.
Это равенство справедливо для любого V. Поэтому , что характеризует принцип непрерывности магнитного поля.
Значит, магнитное поле не имеет истоков. Оно является вихревым полем: линии поля либо замкнуты, либо уходят в бесконечность. Положительное направление выбирается в том направлении, куда повернут северный полюс магнитной стрелки.
В средах, где
,
имеем
.
Закон полного тока для стационарного магнитного поля
Ц
иркуляция
вектора напряженности магнитного поля
равна алгебраической сумме токов,
которые охвачены контуром интегрирования
(рис. 6.8).
. Рис. 6.8
Положительное направление тока связано с направлением обхода правилом правоходового винта ( с «+», - с «-»).
Выведем
дифференциальное уравнение закона
полного тока. Предположим, что ток
распределен с плотностью
.
В этом случае ток
,
где S — сечение контура интегрирования.
Воспользуемся теоремой Стокса
.
Следовательно,
.
Так как это равенство справедливо при любых S, то
.
Полученное выражение есть дифференциальная форма закона полного тока (первое уравнение Максвелла). Уравнение наглядно показывает, что магнитное поле вихревое, а его источником является ток. Заметим, что в вихревом поле работа сил вдоль замкнутого контура не всегда нулевая.
Итак, магнитное поле может быть рассчитано, пользуясь выражениями
;
.
Для областей, не занятых токами (вне проводников с токами), имеем
;
;
;
.
Рассмотрим формулу закона полного тока, введя вектор магнитной индукции
,
где M — намагниченность вещества.
Отсюда 
;
;
.
Из физики известно, что упорядоченная намагниченность вещества обусловлен микротоками, причем
,
где
—
сумма молекулярных токов.
Следовательно,
;
или окончательно
.
Т
аким
образом, при использовании закона
полного тока для магнитной индукции B,
кроме токов проводимости, необходимо
учитывать влияние молекулярных токов,
что усложняет расчет. Поэтому при расчете
магнитного поля обычно рассчитывается
сначала
магнитного поля.
Для случая, когда используется уравнение связи , т. е. не учитывается , имеем
.
Р
75
ассмотрим примеры расчета магнитного поля с применением закона полного тока.П
ример 1.
По бесконечно
длинному проводу диаметром 2a
течет ток I
(рис. 6.9).
Определить напряженность поля внутри
и вне проводника.
Рассматриваем
два случая:
и
.
1) Внутри провода .
С учетом симметрии проводника силовые линии представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны к оси провода, центры окружностей лежат на оси провода. Рис. 6.9
На одинаковых расстояниях от центра провода
одинакова. По закону полного тока:
.
Из левой части уравнения, описывающего закон полного тока, получаем:
.
Полный ток с учетом равномерности плотности тока:
О
тсюда
.
2) Вне провода . Любая силовая линия охватывает весь ток I.
;
.
На
границе при
:
.
График изменения напряженности H от r Рис. 6.10
приведен на рис. 6.10.
Пример 2. Для полого проводника (рис. 6.11) задано: , , , I0.
О
пределить
и построить
,
.
Рассмотрим три области.
1)
(рис. 6.12).
В качестве контура
Рис. 6.11 интегрирования удобно выбирать Риc. 6.12
окружность радиуса r, так как вдоль нее неизменна (по модулю).
Так
как
,
,
то
и
.
2)
(рис. 6.13).
Контур
интегрирования совпадает с линией поля
вектора
.
Направления
и
связаны правилом правоходового винта.
З
акон
полного тока в этом случае имеет вид
,
где
—
ток, охваченный контуром интегрирования.
Рис. 6.13
С учетом симметрии закон полного тока можно записать в виде
;
Если проводник
выполнен из однородного материала,
можно считать, что в каждой точке
проводника
.
Тогда
.
Т
76
аким образом,
;
.
3)
(рис. 6.14)
Рис. 6.14
;
;
;
.
Графики изменения H(r) и B(r) приведены на рис. 6.15 и 6.16
Рис. 6.15 Рис. 6.16