5.4. Аналогия между электрическим полем постоянного тока и электростатическим полем

П редположим, что между двумя параллельными проводниками приложено напряжение U (рис. 5.10). Проводимость провода , проводимость среды между пластинами — . Нормальная составляющая вектора напряженности равна , плотность тока в диэлектрике .

Рис. 5.10

Положим, что проводники замкнуты помимо диэлектрика, тогда по ним течет ток с плотностью , т. е. на поверхности проводника при этом появляется тангенциальная составляющая поля . Как правило, проводимость проводника намного больше проводимости диэлектрика . В связи с этим при рассмотрении поля постоянного тока между проводниками принимается равной нулю.

При таком предположении поле постоянного тока тождественно полю в условиях электростатики.

Действительно, из принципа непрерывности тока следует

.

В то же время по закону Ома . Тогда или . Поскольку , то , .

Как видим, потенциал поля в области между проводниками определяется уравнением Лапласа:

.

Электростатическое поле в диэлектрике без свободных зарядов описывается также уравнением Лапласа. Поэтому, если две ограниченные области — проводящая (без сторонних сил) и электрическая (без свободных электрических зарядов) — имеют на граничной поверхности одинаковое распределение потенциалов, то внутри каждой из них распределение потенциала будет одинаковым.

По своей физической природе поля электростатическое и постоянного тока в проводящей среде различны: электростатическое поле — поле неподвижных в пространстве и неизменных во времени зарядов; поле в проводящей среде — поле движущихся зарядов. Тем не менее, между математическими моделями этих полей можно провести формальную аналогию.

Электростатическое поле при		Электромагнитное поле постоянного тока при
(всегда)
		(всегда)
(всегда)
		(всегда)

Благодаря такой аналогии, можно формулы, полученные при расчете электростатических полей, использовать для расчета поля постоянного тока. В частности, проводимость в поле постоянного тока можно вычислять по формулам для емкости в электростатическом поле. Достаточно заменить емкость на проводимость, абсолютную диэлектрическую проницаемость — на удельную проводимость.

П ример 1. Рассчитать проводимость коаксиального кабеля (рис. 5.11). Пространство между жилой и оболочкой заполнено неидеальным диэлектриком с , радиус жилы ,радиус оболочки .

Рис. 5.11

Алгоритм расчета условно можно представить в следующем виде

.

Плотность тока в произвольной точке с радиусом r будет . Следовательно, .

.

Тогда проводимость , а, используя аналогию, можно записать формулу для расчета емкости коаксиального кабеля

.

Пример 2. Определить проводимость растекания тока в сферическом заземлителе (рис. 5.12).

Воспользуемся аналогией — шар в электростатике (рис. 5.13)

Рис. 5.12 Рис. 5.13

Поскольку , то нет тангенциальной составляющей поля, а есть только радиальная. Поверхность шара — эквипотенциаль.

Е

мкость сферы — , а по аналогии проводимость сферического заземлителя  — .