Первый закон кирхгофа в диффеннциальной форме

Р

58

ассмотрим конкретный пример (рис. 5.4). Замкнутая поверхность охватывает узел цепи, к которому подтекают постоянные токи и и из которого вытекают токи и . По первому закону Кирхгофа .

Выразим токи через плотность тока, считая положительной нормаль, направленную наружу S:

; ;

Рис. 5.4

;

или окончательно .

Таким образом, поток вектора плотности тока через замкнутую поверхность равен нулю. Это значит, что заряд, входящий в объем, равен заряду, выходящему из него за тот же промежуток времени. Постоянный ток непрерывен! Линии плотности тока замкнуты.

По теореме Остроградского

.

Отсюда следует, что из-за произвольности выбора S и, следовательно, объема V,

.

Плотность постоянного тока проводимости не имеет источников, заряд в любом объеме проводника остается неизменным, он не накапливается.

Постоянный ток в различных сечениях неразветвленной цепи один и тот же, так как в противном случае были бы такие участки, где заряд или уменьшается, или увеличивается.

Отметим, что дивергенция переменного тока может быть отлична от нуля, так как в цепях переменного тока могут быть участки, где заряды увеличиваются или уменьшаются (например, конденсатор).

Рассмотрим иной вариант доказательства.

Как известно,  — интегральная форма первого закона Кирхгофа. Заменив каждый ток , а операцию суммирования — эквивалентным интегрированием, получим

;

затем разделим на V и устремим его к нулю. Тогда

;

V — объем внутри поверхности S;

 — поверхность стягивается в точку,

а такой интеграл по определению есть дивергенция вектора :

.

С учетом можно записать .

Если , то , откуда

.

Силовые линии напряженности электрического поля постоянного тока непрерывны (заметим, что в электростатике ).

Закон джоуля-ленца в дифференциальной форме

Мощность тепловых потерь в проводнике равна

.

Тепловые потери в объеме (рис. 5.5):

60

Рис. 5.5

О

84

тсюда

,

а с учетом или получим следующие модификации:

.

Эта формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Мощность тепловых потерь в объеме V можно определить как

.

5.2. Поле полусферического электрода

Д ля заземления электрических установок их соединяют с помощью провода с металлическим проводником, зарытым в землю. Такой проводник называется заземлителем. Ток, проходящий (при возможных авариях) в землю через заземлитель, встречает сопротивление, которое называется сопротивлением заземления.

Исследуем поле полусферического

заземлителя (рис. 5.6). По условиям симметрии поле вблизи поверхности заземлителя имеет везде радиальное направление и одинаково по Рис. 5.6

величине.

На расстоянии r от центра полусферы плотность тока равна

, где I — ток утечки.

Д

61

ля поля в проводящих средах при отсутствии сторонних сил справедливы соотношения

; ; .

По закону Ома .

Напряжение на заземлителе

.

Данное напряжение называется напряжением растекания. Сопротивление растекания рассчитывается по формуле

.

5.3.Граничные условия в электростационарном поле

Р

62

ассмотрим границу раздела двух проводящих сред, удельные проводимости которых и (рис. 5.7). Построим цилиндрическую поверхность S. В соответствии с первым законом Кирхгофа поток сквозь эту замкнутую поверхность равен нулю.

Рис. 5.7

Уменьшим высоту цилиндра так, чтобы площади и совпали с граничной поверхностью . Тогда потоки сквозь боковую поверхность будут стремиться к нулю:

.

Из последнего выражения следует

.

Нормальная составляющая вектора плотности тока на границе раздела двух проводящих сред непрерывна.

Е сли на границе раздела двух сред нет сторонних сил (рис. 5.8), то тангенциальные составляющие напряженности электрического поля тоже должны быть равны:

.

 — характеризует поле среды с ;

 — характеризует поле среды с ;

Для случая

;

; Рис. 5.8

.

Так как , , , то

.

В то же время ,

кроме того, .

Отсюда следует вывод, что полные значения векторов и в общем случае меняются скачком на границе раздела двух сред.

Найдем связь между углом падения и

Рис. 5.9 преломления плотности тока проводимости (рис. 5.9):

;

.

Из этой системы имеем: , иначе: .