4. Двойной интеграл в полярных координатах

Если преобразование стоит в переходе к полярным координатам, то формула (6) примет вид:

Переход к полярным координатам эффективен, если уравнение границы области интегрирования или подынтегральная функция содержит выражение x²+y².

Если в состав подынтегральной функции или уравнения границы области входит сумма вида ax²+by² (a>0, b>0), то используют «обобщённую» полярную систему координат:

т огда , а .

Пример 1. Вычислить , где D- часть круга x²+y²=R², лежащая в I четверти.

 Перейдём к полярным координатам

Область . Следовательно,

. 

П ример 2. Найти площадь фигуры Р, ограниченной параболами y=ax², y=bx² (0<a<b) и гиперболами xy=p, xy=q (0<p<q).

 Площадь фигуры , но непосредственно вычислить этот интеграл трудно. Поэтому следует выполнить замену переменных.

Рассмотрим 2 семейства кривых: парабол y=ux² (или ) и гипербол xy=v. Чтобы каждое из них заполняло фигуру Р, достаточно взять какие u, v, которые удовлетворяют неравенствам aub, pvq. Через каждую точку фигуры Р проходит только одна парабола и только одна гипербола. Следовательно, эти два семейства кривых образуют сетку координатных линий.

Так как задание этих двух кривых (то есть параметров u и v) однозначно определяет точку фигуры Р, то u и v можно принять за криволинейные координаты точек фигуры Р: (*)