2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Теорема 2. Для того чтобы ограниченная функция z=f(x;y) была интегрируема на замкнутой квадрируемой области Р необходимо и достаточно, чтобы

. (1)

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть функция f интегрируема на Р. Докажем (1).

Так как f интегрируема на Р, то . Это по определению означает, что >0 >0: Т: <, выполнено

. (2)

(2)  I-<S(T)<I+.

Т.к. Т , , то

. (3)

Тогда .

Т.е. для выбранного >0 >0: Т: < выполнено . По определению предела это значит, что выполнено (1).

2) Достаточность. Пусть f ограничена на Р и выполнено (1). Докажем, что f интегрируема на Р. >0 >0: Т: < 

. (4)

По свойству 5) сумм Дарбу Т:

. (5)

Из (4) и (5)  . Это означает, что .

Тогда . (6)

Согласно свойству 1) сумм Дарбу

. (7)

Тогда из (4), (6), (7) получим

,

,

. Значит, по определению f(x;y) интегрируема на Р.

Замечание. Отметим, что из (3) следует

,

,

т.е. при доказательстве необходимости мы установили, что если f интегрируема на P, то

.

3. Интегрируемость непрерывной функции

Теорема 3. Если функция z=f(x;y) непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, то она интегрируема на этой области.

Доказательство.

Пусть Т – произвольное разбиение области Р на части P_k . Т.к. z=f(x;y) непрерывна на замкнутой области Р, то f ограничена на Р и, значит, ограничена на . Следовательно, можно построить .

, (8)

где - соответственно верхние и нижние грани функции f(x;y) на области P_k. Т.к. f(x;y) непрерывна на замкнутой области Р_k, то она достигает верхней и нижней граней , т.е.

.

Подставим в (8):

. (9)

Т.к. функция f непрерывна на замкнутой области P, то она равномерно непрерывна на этой области (теорема Кантора), т.е по определению

(10)

выполнено . (11)

Пусть -произвольное число. Выберем разбиение Т так, чтобы <=(). Тогда . Значит, для точек выполнено (10). Следовательно, для значений функции в них выполнено (11):

. (12)

Из (9) и (12) следует

.

Т.о., T: < выполнено . По определению это значит, что . Тогда согласно теореме 2 f интегрируема на P.

Теорема 4. Если ограниченная на P функция f имеет точки разрыва лишь на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида y=f(x) или х=(у), то она интегрируема на P, и при этом значения функции в точках разрыва не влияют на значения двойного интеграла.

(без доказательства).

§3. Основные свойства двойного интеграла

1. Если функция f(x;y) интегрируема на области Р и с=const, то функция cf интегрируема на Р и справедливо:

. (1)

Доказательство.

Пусть Т - произвольное разбиение области Р на части Р_k. Для этого разбиения и функции cf составим интегральную сумму.

. (2)

Так как f интегрируема, то Тогда правой части (2): . Значит, существует и левой части (2): , т.е. функция cf интегрируема на Р. Переходя к в (2), получаем (1).

2. Если функции f(x;y) и g(x;y) интегрируемы на Р, то и их алгебраическая сумма интегрируема на Р и справедливо равенство

. (3)

Доказательство.

Пусть Т – произвольное разбиение области Р. Составим для него интегральную сумму функции fg:

.

т.к. f и g интегрируемы на Р, то правой части этого равенства, равный . Значит, левой части: . Переходя к пределу, получим (3).

Свойство 2 справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.

3 (Аддитивность ). Если область Р разбита на 2 квадрируемые области без общих внутренних точек, и f интегрируема на , то она интегрируема и на Р, и справедливо равенство

. (4)

Доказательство.

Рассмотрим какое-либо разбиение области Р на части причём линию, разбивающую область Р на части , будем считать одной из линий этого разбиения. При таком разбиении все части области Р можно разбить на 2 группы: в одну группу отнесем все части, содержащиеся в , а в другую все части, содержащиеся в . Тогда интегральную сумму разобьём на 2 суммы, в каждую из соберём отдельно слагаемые, соответствующие областям и :

.

Т.к. f интегрируема по областям , то правой части этого равенства. Значит, существует и предел левой части. Переходя к , получим (4).

4. Если f(x;y)0 на Р и интегрируема на Р, то .

Доказательство.

Т . Значит, .

5. Если функции f и g интегрируемы на Р и на этой области f(x;y)g(x;y), то .

Доказательство.

Рассмотрим функцию (x;y)=f(x;y)-g(x;y). Т.к. (x;y)0 на Р, то согласно свойству 4 . Применяя свойство 2, получим

.

Отсюда .

6. Если функция f интегрируема на Р, то функция интегрируема на Р и справедливо .

Доказательство.

По свойству модуля

На основании свойств 5, 1 двойного интеграла:

.

А это по свойству модуля значит, что . .

7 (Теорема о среднем значении двойного интеграла). Если f(x;y) непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, то

,

где Р – площадь области Р.

Доказательство.

Т.к. Р – квадрируемая область, то она ограничена. Согласно теореме Вейерштрасса непрерывная в ограниченной замкнутой области Р функция f(x;y) достигает в ней своего наименьшего и наибольшего значений, т.е. m и M:

.

Отсюда по свойствам 5, 1

.

Т.к. , то получаем

.

Отсюда .

Положим , тогда .

По теореме Коши о промежуточном значении непрерывной функции существует точка . Следовательно,

.

Отсюда

Замечание. где dP элемент площади. Если область Р разбить на части Р_k с помощью прямых, параллельных осям координат, то области P_k будут прямоугольными, за исключением граничных. Тогда элемент площади dP=dxdy.

Действительно, . При 0 и . Тогда , (дифференциал функции - главная часть ее приращения). Следовательно, при 0 . При 0 площади граничных частей стремятся к нулю.

В дальнейшем .