Интегральное исчисление функций нескольких переменных

I. Двойной интеграл

§1. Понятие двойного интеграла

1. Квадрируемые фигуры и их площади

Определение. Плоской фигурой F называется ограниченная замкнутая область из . Множество всех граничных точек фигуры F называется её границей и обозначается .

Определение. Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной.

Многоугольная фигура P – объединение нескольких многоугольников.

Понятие площади многоугольной фигуры и её свойства известны (из курса геометрии). Площадь обозначим .

Свойства площади многоугольной фигуры

1. .

2. Если , и P₁ и P₂ не имеют общих внутренних точек, то (аддитивность).

3. Если P₁=P₂, то (инвариантность).

4. Если то (монотонность)

П усть дана плоская фигура F, ограниченная одной или несколькими замкнутыми кривыми. Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком содержащиеся в F, и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие в себе F: . Для их площадей справедливо .

Рассмотрим 2 числовых множества: и . Множество ограничено сверху любым числом из . Следовательно, имеет верхнюю грань, то есть . выполнено . Следовательно, , то есть ограничено снизу. Следовательно, . Ясно, что . Тогда выполнено

.

Определение. Фигура F называется квадрируемой, если . При этом называется площадью фигуры F.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие квадрируемости). Пусть дана произвольная плоская фигура F. Для квадрируемости плоской фигуры F необходимо и достаточно, чтобы , такие, что .

Теорема 2. Фигура F квадрируема, если её границу можно разбить на конечное число частей, каждая из которых представляют собой кривую вида y=f(x), x[a;b] или x=φ(y), y[c;d], где f и φ – непрерывные функции.

Определение. Кривая L называется гладкой, если он задана параметрическими уравнениями

где определены и непрерывно дифференцируемы на [α;β], и t[α;β].

Кривая называется кусочно-гладкой, если её множество разбить на конечное число гладких кривых.

Теорема 3. Фигура F квадрируема, если её граница является гладкой или кусочно-гладкой кривой.

Площадь плоской фигуры обладает теми же свойствами, что и площадь многоугольной фигуры:

1. .

2. Если , и F₁ и F₂ не содержит общих внутренних точек, то .

3. Если F₁=F₂, то .

4. Если то .

2. Задача об объёме цилиндрического бруса

П усть тело V ограничено: снизу - плоской фигурой P, лежащей в плоскости XOY, сверху – поверхностью z=f(x;y), где f – неотрицательная и непрерывная на P функция, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси OZ. Такое тело называется цилиндрическим брусом. Найдём объём тела V. Разобьём область Р сетью кривых на n частей P₁, P₂,…,P_n. На контуре каждой части P_k построим поверхность с образующей, параллельной оси OZ. Эта поверхность вырежет в теле столбик V_k с основанием P_k. Таких столбиков будет n, и в совокупности они составят всё тело V. Сумма объёмов всех V_k даст объём тела V. Выберем в каждой части P_k произвольную точку и вычислим в ней значение функции . Затем каждый цилиндрический столбик V_k заменим прямым цилиндром с основанием P_k и высотой z_k. Тогда объём цилиндрического столбика V_k приблизительно равен объёму этого прямого цилиндра: .

Просуммировав эти выражения по , получим объём V:

.

Это равенство тем точнее, чем мельче разбиение области P на части P_k.

Диаметром замкнутой области P называется наибольшее расстояние между двумя точками её границы. Пусть -диаметр P_k. Обозначим . Пусть , тогда то есть

.