3. Анализ режима гармонического тока в линейных электрических цепях

3.1. Основные понятия гармонического тока и напряжения

Под гармоническим током (напряжением) понимают ток (напряжение), изменяющийся во времени по гармоническому закону cos или sin. Такая функция описывается тремя независимыми параметрами: амплитудой, периодом повторения, начальной фазой.

i(t)=I_m∙sin (ω∙t+ψ_a₎) , ψ_a - начальная фаза, некоторый угол, который получается при t=0; (может быть больше или меньше 0, это зависит от выбора начала отсчета). В данном случае ψ_a >0, так как отсчитывается по оси времени от точки, где синус равен 0. ω=2π∙f (рад/с)– угловая частота, f=1/T- циклическая частота (Гц). I_m(A_m) –амплитуда.

Можно записать ток и через косинус

i(t)=I_m∙cos(ω∙t+ψ_i)

ψ_i < 0– начальная фаза (в этом случае она отсчитывается против оси времени от точки где косинус равен1)

3.2. Оценка гармонического тока (напряжения)

Стандартно меняющуюся величину оценивают по среднему значению, но для функций синуса или косинуса среднее значение равно 0. Можно оценивать по амплитудному значению, но оно кратковременно и поэтому трудно измеримо.

Начали оценивать ток (напряжение) по среднеквадратичному значению за период, которое технически называют действующим значением

. Если мы возьмем гармоническую функцию (синусоиду), то .

Понятие действующего значения используется для оценки и сравнения гармонических токов и напряжений. Практически все приборы, измеряющие переменные токи и напряжения, градуируются в действующих значениях.

Физический смысл действующего значения: действующее значение переменного или гармонического тока (напряжения) численно равно такому значению постоянного тока (напряжения), которое действует так же, как и переменный по выделению тепла в таком же сопротивлении за то же время. Рпост = I²∙R,

Pпер(гар) = I_m^2∙R/2 =I²∙R.

3.3. Векторное и комплексное представление гармонических функций

При анализе цепей с переменными токами, напряжениями возникает задача вычисления переменных токов, напряжений, например, их сложения по первому закону Кирхгофа. Как сложить 3-4 синусоиды?

1) Можно графически, но это трудоемко и неудобно.

2) Можно применить векторную математику.

Гармонические функции представляют вращающимися векторами. Через период вектор занимает то же положение. Если частота вращения векторов одинаковая, то результат суммирования величин останется неизменным, будет меняться только угол.

Векторные операции более приемлемы для расчетов, но тоже не совсем удобны, поскольку сложно получить точные численные результаты.

3) Можно применить немного другую математику. Например, суммировать векторы по проекциям. По отдельности суммируют вертикальные и горизонтальные проекции. Отсюда один шаг до комплексных чисел, поскольку комплексное число представляет собой вектор с двумя проекциями: вещественной и мнимой частью.

Вычисления над гармоническими функциями можно заменить вычислениями над комплексными числами, если у них одна и та же частота колебаний. Поэтому гармонические токи и напряжения символически описываются комплексными амплитудными или действующими значениями. При этом используют действующие или амплитудные значения и начальные фазы колебаний и показательную форму записи комплексного числа.