20.Интеграл энергии (четвёртый интеграл).

После интегрирования получим:

- четвёртый интеграл, который называется интегралом энергии.

h – постоянная интегрирования, которая называется постоянной энергии.

m – масса спутника

- полная энергия;

- кинетическая энергия;

- потенциальная энергия.

Знак « – » = «притяжение».

h – характеризует полную энергию спутника.

18.Будем брать попарно уравнения из системы (1) и исключать из них второе слагаемое:

Получили систему уравнений с разделяющими переменными:

После интегрирования этой системы получим:

Система уравнений (2) называется интегралы площадей.

С₁, С₂, С₃ – постоянные площадей.

Физический и геометрический смысл постоянных площадей.Возьмём систему уравнений (2) умножим её составляющие на X, Y, Z и сложим между собой:

Получим уравнение плоскости, в которой движется спутник. Она перпендикулярна некоторому вектору , модуль которого равен: .

Направляющие косинусы этого вектора равны:

Рассмотрим интегралы площадей в орбитальной с.к.:

соотношение между полярной и прямоугольной с.к.

Поскольку с.к. находятся в плоскости орбиты, то С₁=0 и С₂=0, а С = С₃. Следовательно интеграл площадей записывается одним уравнением: .

19.Запишем данное уравнение в полярных координатах:

Т.к. и

То уравнение примет следующий вид:

- интеграл площадей в орбитальной полярной с.к.

Из вида этого уравнения следует, что - это вектор кинетического момента движения. Мы получили физический смысл интеграла площадей.

Рассмотрим радиус вектор спутника в некоторый момент времени t и через малый промежуток времени Δt. Найдём площадь сектора ΔS, который описал за этот промежуток времени радиус-вектор.

ΔS ≈ ½*r*l

l = r*Δu

ΔS = ½*r²*Δu

Если перейти к пределу, то получим: - площадь сектора при повороте радиус-вектора на угол Δu.

Т.к. , то S = ½*C. А следовательно С = 2S.

Постоянная площадей С – есть двойная площадь, которую радиус-вектор спутника описывает за единицу времени. Мы получили геометрический смысл постоянной площадей

21.Интеграл орбиты.Пятый интеграл определяет геометрию орбиты и его называют интегралом Лапласа.

f₁x + f₂y + f₃z = - μr + c²

f₁, f₂, f₃ – компоненты постоянного вектора, который называют вектором Лапласа

.Этот вектор лежит в плоскости орбиты на линии абсид.

f – постоянная интегрирования;с – постоянная площадей;μ – гравитационная постоянная.Эта постоянная интегрирования связанна с другими

f² = μ² + hc²

h – постоянная энергии.Само уравнение орбиты получается из решения системы уравнений:

с₁x + с₂y + с₃z = 0 – уравнение плоскости, в которой движется спутник;

f₁x + f₂y + f₃z = - μr + c² – уравнение поверхности вращения 2ого порядка.

22.Найдём уравнение орбиты спутника в орбитальной системе координат.

f₁ = f

f₂ = 0

f₃ = 0

f₁ξ = - μr + c²

ξ = r*cos u

η = r*sin u

f*r*cos u = - μr + c²

f*r*cos u + μr = c²

r*(f*cos u + μ) = c²

- уравнение орбиты в полярной орбитальной с.к.

где р – фокальный параметр; е – эксцентриситет.В геометрии уравнение такого вида называют фокальное уравнение конического сечения. Вид этого уравнения зависит от величины эксцентриситета:0 ≤ е < 1 – эллипс;е = 1 – парабола;е > 1 – гипербола.

23.Энергия спутника при различных видах движения.Берем форм.(5-вторая форм), p=c²/ μ и e=f/ μ. f² = e²*μ²; e²*μ² = μ² + hc²; e²*μ² – μ² = hc²; μ²*(e² – 1) = hc²; e² – 1 = hc²/μ²

а) 0 ≤ е < 1 => h < 0 – эллипс

=>

=> при эллипсоидальном движении спутника кинетическая энергия W_кин < потенциальной энергии W_потен.

Рассмотрим частный случай эллиптического движения когда е = 0 – круговое движение.

r = p

=>

- 1ая космическая скорость.

б) е = 1 => h = 0 – парабола

=>

=> при параболическом движении спутника кинетическая энергия W_кин = потенциальной энергии W_потен.

- 2ая космическая скорость.

в) е > 1 => h > 0 – гипербола

=>

=> при гиперболическом движении спутника кинетическая энергия W_кин > потенциальной энергии W_потен.

24.Для нахождения 6ого интеграла понадобится уравнение орбиты:

и интеграл площадей в орбитальной системе координат:

Для интегрирования надо произвести разделение переменных:

t – текущее время;υ – текущая истинная аномалия.

Интегрировать будем по времени от 0 до t и по истинной аномалии от 0 до υ:

τ – произвольная постоянная интегрирования. Она означает некоторый начальный момент времени, в который спутник находился в перегее.

Интеграл в правой части можно решить путём замены переменной, т.е. переменную интегрирования υ (истинная аномалия) меняют на другую переменную Е – эксцентрическую аномалию.

После замены переменной интегрирования получим:

n*(t – τ) = E – e*sinE

M = n*(t – τ) – средняя аномалия

M = E – e*sinЕ – шестой интеграл уравнения Кеплера

Если известная средняя аномалия, то из решения уравнения Кеплера можно найти эксцентрическую аномалию.

Уравнение Кеплера является трансцендентным, т.е. его решают методом приближений:

Е₀ = М;

Е₁ = M + е*sin (E₀);

Е₂ = M + е*sin (E₁);

Е₃ = M + е*sin (E₂);

М – в радианах.

25.Расчёт координат спутника для любого момента времени.Для вычисления координат спутника необходимо знать его Кеплеровы элементы орбиты, т.е. а, е, Ω, ω, ι, τ.Порядок расчёта координат:

1. находим среднее движение:

2. находим среднюю аномалию: M = n*(t – τ)

t – текущий момент времени

3. решаем уравнение Кеплера и находим эксцентрическую аномалию M → E

Е₀ = М;

Е₁ = M + е*sin (E₀);

Е₂ = M + е*sin (E₁);

Е₃ = M + е*sin (E₂);

_________________

Е_к = M + е*sin (E_к-1)

4. находим истинную аномалию

5. находим фокальный параметр р = а*(1 - е²)

6. находим радиус-вектор

производим преобразование координат из орбитальной системы в гринвичскую или инерциальную z (r; υ) → (X; Y; Z)

26.27.Возмущенное движение ИСЗ.Поле тяготения Земли в действительности не является центральным поскольку форма Земли отличается от сферической, а плотность в теле Земли распределена не равномерно. По этому в действительности движение спутника нельзя считать Кеплеровым. Небесной механике всякое движение, которое отличается от Кеплерова называют возмущённым. А силы, которые вызывают это движение называют возмущающими. Эти силы бывают гравитационного и негравитационного характера.Возмущающие силы гравитационного характера:

1. отличие поля тяготения Земли от центрального;

2. силы тяготения других небесных тел (луна, солнце, кометы, астероиды и т.п.)

Возмущающие силы негравитационного характера:

1. сопротивление верхних слоёв атмосферы;

2. давление света;

3. взаимодействие с э/м полем Земли;

4. эффекты общей теории относительности.

Для характеристики всех возмущающих воздействий вводят некоторую возмущающую функцию R. Частные производные этой функции дают возмущающие ускорения.

- проекции возмущающего ускорения на координатные оси.