Глава 2. Определение потенциала источника движущегося под свободной поверхностью. Метод диссипативных сил.

При исследовании волновых задач всегда появляются так называемые свободные волны, что вносит в решение известную неопределенность. Появление свободных волн объясняется тем, что мы ищем решение той или иной волновой задачи из граничного условия на свободной поверхности, которое физически получается из требования постоянства давления вдоль свободной поверхности.

Условие постоянства давления на свободной поверхности будет соблюдаться и при добавлении к найденному же движению произвольного волнового движения, отвечающего условию постоянства давления вдоль свободной поверхности. Чтобы исключить из решения свободные волны, приходится вводить граничное условие на бесконечности вида gradφ→0 при x→+∞. Однако, чтобы исключить свободные волны, можно поступить иначе: добавить к действующей силе тяжести малые рассеивающие энергию силы трения или, иначе, фиктивные диссипативные силы, которые берутся пропорционально скорости частицы: X=-µ∙V_x; Y=-µ∙V_y; Z=-µ∙V_z, где µ - постоянный положительный коэффициент, который в конечном решении необходимо устремить к нулю. Идея введения этих сил заключается в следующем: под влиянием сил трения свободные волны гасятся, в то время как при их отсутствии могут существовать сколь угодно долго. При такой форме сил трения опять можно предполагать существование потенциала скорости φ. В этом случае интеграл Лагранжа будет иметь вид:

. (2.1)

Считая, что волны на свободной поверхности малые и что давление вдоль нее постоянно, из интеграла Лагранжа при z=0 получим

. (2.2)

Кроме того, вдоль свободной поверхности имеет место равенство, при z=0

. (2.3)

Исключая из (2.1) и (2.2) z_, получим граничное условие на свободной поверхности:

. при z=0 (2.4)

Так как , то последнее равенство примет вид, при z=0

. (2.5)

Равенство (2.5) и есть граничное условие на свободной поверхности жидкости. При µ→0 оно переходит в известное уже условие:

.

В качестве примера использования метода диссипативных сил получим формулу для потенциала вызванных скоростей источника при его установившемся движении под свободной поверхностью жидкости. Будем искать выражение φ(x,y,z) в виде

.

Подставляя его в (2.5), получим:

. (2.6)

Воспользуемся интегральным представлением в виде:

Тогда решение (2.6) можно записать:

. (2.7)

Подставляя (2.7 ) в (2.6 ), получим:

,

. (2.8)

Потенциал вызванных скоростей источника, движущегося под свободной поверхностью, будет:

. (2.9)

Для окончательного получения значения потенциала скорости φ необходимо найти при .

Рассмотрим третий член выражения (2.9). При интегрировании по k точка

. (2.10)

Является простым полюсом. Из формулы (2.10) видно, что для значений , у которых , особая точка лежит ниже оси абсцисс, а для значений , у которых , особая точка лежит выше оси абсцисс.

При особые точки стремятся к точке , лежащей на вещественной оси переменного K , поэтому при интегрировании следует обходить особую точку при с верхней стороны, а при - с нижней. Обозначим через L₁ и L₂ пути интегрирования. Естественно что при данной трансформации вещественной оси значение рассматриваемого интеграла не изменится. Нетрудно проверить, что такой выбор пути интегрирования обеспечит гашение свободных волн на бесконечности перед источником. После замены пути интегрирования можно совершить предельный переход при :

, (2.11)

где путь интегрирования L₁ соединяет точки K=0, K=∞ и обходит особую точку с верхней стороны, а контур L₂ соединяет те же точки, но обходит с нижней стороны. В правой части (2.11), когда уже выбраны направления контуров L₁ и L₂, по которым обходится особая точка , можно положить μ=0. Пределы интегрирования по θ и знаки внутри экспоненты первого и второго интегралов берутся с учетом изменения θ. Интегралы, входящие в (2.11), можно записать:

где

Вычеты от и в точке K₀ равны

Тогда

С учетом последних равенств выражение (2.11) можно записать:

. (2.12)

Потенциал скорости после этого записываем так:

. (2.13)

Выражение для потенциала источника в форме (2.13) совпадает с формулой:

а значения k₁ и k₂ определяются следующими выражениями:

Таким образом, формальное введение в граничное условие на свободной поверхности диссипативных сил позволяет довольно легко исключить свободные волны на бесконечности перед источником путем выбора соответствующих контуров интегрирования. [1]