15 Які коди належать до лінійних блокових кодів? Які коди мають властивість систематичності?

Бажаною якістю лінійних блокових кодів є систематичність. Систематичний код має інформаційну частину з k символів і надмірну (перевірну) частину з n-k символів постійної довжини.

Найпоширенішими систематичними лінійними блоковими кодами є коди Хеммінга, до яких належать коди з мінімальною кодовою відстанню d_min=3, здатні виправляти поодинокі помилки.

16 Що таке система перевірних рівнянь лінійного блокового коду?

Способом задання лінійних блокових кодів є система перевірних рівнянь, що визначає правила знаходження перевірних символів залежно від інформаційних. Приклад такого задання:

де r₁, r₂, r₃, r₄ - перевірні (контрольні) символи.

17 Що таке перевірна матриця лінійного блокового коду? Які її властивості? Яка структура перевірної матриці?

Лінійний блоковий код може бути заданийперевірною матрицеюH_(n-k)n, що має таку властивість:

якщо деяка послідовність u є кодовим словом лінійного блокового коду, заданого перевірною матрицею H_(n-k)n, тоuH^= 0, тобто перевірна матриця ортогональна будь-якій кодовій послідовності даного коду.

Перевірна матриця має розмірність (n-k)n і таку структуру:

, (3.3)

де - транспонована перевірна підматриця твірної матриці G_kn; - одинична підматриця.

З властивості перевірної матриці лінійного блокового коду випливає, що за її допомогою можна визначити, чи є прийнята послідовність кодовим словом даного коду чи ні.

18 Як, скориставшись перевірною матрицею, побудувати систему перевірних рівнянь лінійного блокового коду?

З перевірної матриці лінійного блокового (4, 7)- коду знайдемо систему перевірних рівнянь:

Звідси

де (m₁, m₂, m₃, m₄) – інформаційні символи; r₁, r₂, r₃ - перевірні символи; (u₁, u₂, …, u₇)=(m₁, m₂, m₃, m₄, r₁, r₂, r₃) - кодове слово.

19. Що таке кодовий синдром лінійного коду? Як він визначається?

1. Нехай u=(u₁, u₂, …, u_n) - кодове слово, передане по каналу з шумом; y=(y₁, y₂, …, y_n) - прийнята послідовність, що через вплив завад може відрізнятися від переданої.

Для описання виникаючих у двійковому симетричному каналі помилок використовується вектор помилок е=(e₁, e₂, …, e_n), що є двійковою послідовністю завдовжки n з одиницями у тих позиціях, де виникли помилки.

Наприклад, вектор помилок е=(0001000) означає однократну помилку у четвертому біті, е=(1100000) - двократну помилку у першому і другому бітах.

При передачі кодового слова u по каналу з шумом прийнята послідовність матиме вигляд y = u+е, де u - передане кодове слово; e – вектор помилок у каналі.

Наприклад: u=(0001000), e=(0001000), тоді y=(0000000).

Щоб перевірити наявність помилок у прийнятій послідовності y, декодер обчислює таку (n-k)- послідовність:

S=(S₁, S₂, …, S_n-k)=y ,

де y - прийнята кодована послідовність; - транспонована перевірна матриця коду.

При цьому у є кодовим словом тоді, коли S=(0 0 … 0), і не є кодовим словом даного коду, якщо S≠0.

Послідовність S є ознакою наявності помилок у прийнятій послідовності y і називається кодовим синдромом.

2. Нехай u=(u₁, u₂, …, u_n) - передане кодове слово; е=(е₁, е₂, …, е_n) - вектор помилок; y=(y₁, y₂, … y_n) - прийнята послідовність. Тоді y=u+е.

Кодовий синдром

S=y =(u+e) =u +e =0+e =e ,

оскільки для будь-якого кодового слова u =0.

Таким чином, кодовий синдром залежить лише від вектора помилок і не залежить від переданого слова.

Визначивши координати вектора помилок, можна відновити кодове слово так: u*=y+е.