38 Яким чином за допомогою кодового синдрому виявляються та виправляються помилки лінійним блоковим кодом?

Нехай u=(u₁, u₂, …, u_n) - кодове слово, передане по каналу з шумом; y=(y₁, y₂, …, y_n) - прийнята послідовність, що через вплив завад може відрізнятися від переданої.

Для описання виникаючих у двійковому симетричному каналі помилок використовується вектор помилок е=(e₁, e₂, …, e_n), що є двійковою послідовністю завдовжки n з одиницями у тих позиціях, де виникли помилки.

Наприклад, вектор помилок е=(0001000) означає однократну помилку у четвертому біті, е=(1100000) - двократну помилку у першому і другому бітах.

При передачі кодового слова u по каналу з шумом прийнята послідовність матиме вигляд y = u+е, де u - передане кодове слово; e – вектор помилок у каналі.

Наприклад: u=(0001000), e=(0001000), тоді y=(0000000).

Щоб перевірити наявність помилок у прийнятій послідовності y, декодер обчислює таку (n-k)- послідовність:

S=(S₁, S₂, …, S_n-k)=y ,

де y - прийнята кодована послідовність; - транспонована перевірна матриця коду.

При цьому у є кодовим словом тоді, коли S=(0 0 … 0), і не є кодовим словом даного коду, якщо S≠0.

Послідовність S є ознакою наявності помилок у прийнятій послідовності y і називається кодовим синдромом.

Приклад 3 Для розглянутого прикладу лінійного блокового (4, 7)- коду знайдемо значення кодового синдрому.

Нехай y=(y₁, y₂, …, y₇) - прийнята кодована послідовність. Тоді

S=y =(y₁, y₂, …, y₇)× =((y₁+y₃+y₄+y₅), (y₁+y₂+y₃+y₆), (y₂+y₃+y₄+y₇)).

Деякі комбінації помилок, використовуючи кодовий синдром, виявити неможливо. Наприклад, якщо передане кодове слово під впливом завад перетвориться на інше кодове слово цього самого коду, то синдром S=y× =0, і декодер помилок не виявить.

39 Як записуються необхідна і достатня умови виявлення лінійним блоковим кодом помилок заданої кратності?

Для виявлення кодом помилок кратності не більше l необхідно і достатньо, щоб мінімальна відстань між його словами була l+1: d_min ≥ l+1, де d_min - мінімальна кодова відстань Хеммінга, тобто, мінімальна зі всіх відстаней між всіма можливими парами кодових слів.

Для виправлення кодом помилок кратності не більше l необхідно і достатньо, щоб мінімальна відстань між його словами була 2l+1: d_min ≥ 2l+1.

40. Як побудувати твірну матрицю поліноміального коду?

Поліноміальним кодом називається множина всіх многочленів степеня не більше n-1, що мають спільний множник – деякий фіксований многочлен g(x) степеня r=n-k (де n - довжина кодових слів, k - довжина інформаційного повідомлення; r - кількість перевірних символів). Цей многочлен g(x) називається твірним многочленом коду.

Поліноміальний код з твірним многочленом g(x) кодує повідомлення m(x) поліномом вигляду:

u(x)=m(x)g(x)=u₀ + u₁x + u₂x²  + … + u_n-1x^n-1, або кодовим словом з коефіцієнтів цього многочлена u= (u₀, u₁, …, u_n-1). Матриця поліноміального коду з твірним многочленом g(x) степеня r=n-k має вигляд:

,

де ненульові елементи в i-му рядку - це послідовність коефіцієнтів твірного многочлена, розташованих з j-го по (j+r)-й стовпець.